Понятие импульса

Массой материальной точки называется скалярная физиче­ская величина, описывающая инертные свойства тела при по­ступательном движении

Импульсом материальной точки называется векторная фи­зическая величина р. равная произведению массы материальной точки т на ее скорость v. Импульс определяется по формуле:

p=mv (1)

Второй закон Ньютона

Быстрота изменения импульса материальной точки с тече­нием времени равна действующей на нее силе:

= F (2)

Второй закон Ньютона, записанный в форме (2), является ре­лятивистски инвариантным, т.е. он применим как при малых

(t с), так и при больших (v с) скоростях движения тела. Здесь с ~ 3,00 • 10⁸м/с — универсальная мировая постоянная — скорость распространения света в вакууме. Как считается в современной физике, сигнал, информация или энергия не могут передаваться в пространстве со скоростью большей, чем с.

Если скорость тела мала (v с) и масса тела постоянна (m = const), то второй закон Ньютона можно перпеписать в классической форме

= = m = ma = F (3)

Отсюда следует, что

a= (4)

т.е. ускорение материальной точки прямо пропорционально дей­ствующей на нее силе и обратно пропорционально массе мате­риальной точки.

При больших (околосветовых) скоростях движения частиц в ускорителе необходимо использовать для расчета параметров движения только формулу (2), но никак не формулу (4). Вто­рой закон Ньютона строго выполняется только в инерциальных системах отсчета.

Третий закон Ньютона

Силы взаимодействия между двумя материальными точка­ми равны по величине, противоположны по направлению и на­правлены вдоль прямой, соединяющей emu точки.

Рис. 1

Проиллюстрируем сказанное с помощью рис. 1. Используя обозначения, указанные на рисунке, аналитически третий закон Ньютона можно записать в форме:

F12 = - F21 (5)

Заметим, что силы, действующие по третьему закону Ньюто­на, не могут уравновесить друг друга, так как они приложены к разным материальным точкам. Строго третий закон Ньюто­на выполняется только при непосредственном контакте тел или отсутствии их взаимного перемещения. В системе СИ сила из­меряется в ньютонах. [F] = Н = кг - м/с². Все единицы системы СИ, образованные от фамилий, в сокращенном обозначении пи­шутся с большой буквы.

Закон изменения импульса

Воспользовавшись формулой (2), имеем

dp = Fdt. (6)

Следовательно,

изменение импульса тела dp за промежуток времени dt равно импульсу действующей силы Fdt.

Импульсом силы называется произведение силы на промежу­ток времени ее действия.

Если нам нужно найти изменение импульса тела за конечный промежуток времени [t₁, t₂], то интегрируя (6), найдем

= (7)

Формула (7) дает изменение импульса тела в случае действия переменной силы.

Закон сохранения импульса

Полагая в (2) F = 0, получим

= 0, р= const. (8)

Это означает, что при отсутствии действующей силы импульс материальной точки есть величина постоянная.

Если имеется система материальных точек, то закон сохра­нения импульса можно сформулировать следующим образом.

Импульс замкнутой системы материальных тел есть вели­чина постоянная.

Напомним, что замкнутой называется система материаль-
ных тел, внешним воздействием на которую можно пренебречь.
Для замкнутой системы, состоящей из п материальных тел, име-
ем:

P = p₁ + p₂ +…+ p_n = const. (9)

Или

m₁v₁ +m₂v₂ +…+ m_nv_n = const. (10)

Приведем примеры применения закона сохранения импульса.

Пример 1. Абсолютно неупругий удар двух тел.

Абсолютно неупругим называется такой удар тел, в резуль­тате которого они движутся с одинаковой скоростью. Тогда имеем: импульс до удара р = m₁v₁ +m₂v₂, равен импульсу после удара р = m₁v' + m₂v', следовательно:

m₁v₁ +m₂v₂ = ( m₁ +m₂ ) v’, v’ = . (11)

Здесь v' скорость тел после удара. Заметим, что закон сохране­ния импульса позволяет, не вникая в детали того, как происхо­дит удар, как тормозятся и ускоряются тела в процессе удара, сразу найти конечную скорость, т.е. заметно упростить реше­ние задачи. В этом и заключается его сила.

Вообще законы сохранения дают нам инварианты, сохраня­ющиеся в Природе. Применение этих законов позволяет суще­ственно упростить решение многих физических задач. В про­цессе развития физики велся поиск все новых и новых законов сохранения. Этот поиск продолжается до сих пор. Параллель­но с ним происходит формирование новых физических понятий. Так в свое время были сформулированы законы сохранения: энергии, момента импульса, электрического заряда, барионного заряда, изотопического спина и другие. .

Пример 2. Абсолютно упругий удар двух тел.

Это удар, при котором сохраняется механическая анергия тел. Рассуждая аналогично тому, как это было сделано в "Примере 1", получим

m₁v₁ +m₂v₂ = m₁v’₁ + m₂v’_{2 .} (12)

Здесь v’₁ и v’₂ — скорости тел после удара.

Пример 3. Движение ракеты в безвоздушном пространстве.

Пусть покоящаяся ракета массой го выбросила со скоростью и порцию гада массой \dm\, в результате чего приобрела ско­рость dv. Составим уравнение сохранения импульса

(m + dm)dv = - udm (13)

Здесь учтено, что величина изменения массы ракеты dm — от­рицательна. Уравнение (13) выражает тот факт, что импульс, полученный ракетой, равен по величине импульсу газов, но про­тивоположен ему по знаку. Раскрывая в (13) скобки и пренебре­гая бесконечно малыми второго порядка, найдем

dmv = - udm (14)

Поделив обе части (14) на m и интегрируя, получим

= u (15)

Или

v = uln , m = . (16)

Здесь — начальная масса ракеты вместе с топливом, m — масса в данный момент времени, когда скорость ракеты дости­гла величины v.

Для современных ракет скорость истечения газовой струи и ~ 4км/с. Формула (16) показывает, что для достижения бли­жайшей к Солнечной системе звезды Альфа Центавра (рассто­яние порядка четырех световых лет или 3,6 • 10¹³ км) и возвра­щения назад за время, равное человеческой жизни, потребуется начальная масса ракеты, в огромное количество раз превосхо­дящая массу всей нашей Галактики.

Поэтому ракеты и космические корабли современого типа не позволяют решать проблему межзвездных перелетов. Для решения этой проблемы понадобятся новые идеи и другие кон­струкции космических кораблей. Подобные идеи уже есть. Фор­мула (16) была получена русским ученым К.Э.Циолковским в 1903 году.

Реактивное движение

Под реактивным движением в узком смысле понимается движение ракет и реактивных снарядов. Под реактивным дви­жением в широком смысле понимается движение тела за счет реакции струи жидкости или газа. В широком смысле винто­вой самолет или морской корабль так же движутся реактивным образом. Вообще, если приглядеться повнимательнее к окру­жающему миру, то мы заметим, что многие виды движения со­вершаются на основе закона сохранения импульса, например, полет птиц, ползание червей и другие.

Подводя итог, отметим, что законы Ньютона являются, по­жалуй, самыми важными законами механики, а вытекающий из них закон сохранения импульса есть один из самых фундамен­тальных законов Природы.

Лекция №3

Разновидности сил, играющих важную роль в механических процессах

Классификация фундаментальных взаимодействий, известных современной физике

В повседневном опыте мы встречаемся с разнообразными си­лами. Однако, несмотря на разнообразные названия, которые мы даем различным силам, существуют лишь два вида сил, управляющих движением тел в повседневной жизни — гравита­ционные и электромагнитные силы (или взаимодействия). Од­нако данных взаимодействий недостаточно для описания ядер­ных явлений. Исследование процессов с участием ядер и эле­ментарных частиц показало, что в природе существуют еще два взаимодействия: сильные (ядерные) и слабые.

Гравитационные и электромагнитные взаимодействия явля­ются дальнодействующими (т.е. их действие заметно на боль­ших расстояниях). По этой причине именно они и ответственны за все крупномасштабные макроскопические явления, начиная от явлений повседневной жизни и кончая происходящими в да­леких звездах и галактиках. В данной лекции кратко рассмо­трим некоторые силы.

Сила трения

Сила трения препятствует скольжению соприкасающихся тел друг относительно друга, направлена по касательной к по­верхности соприкасающихся тел и противоположна скорости движения данного тела (рис. 1).

Трение существует и в случае неподвижных тел — трение покоя. Если F_дв < F_{тр ск}, то v = 0. Если F_дв = F_{тр ск}, то a = 0, v = const и тело движется равномерно или покоится. Если F_дв > F_{тр ск}, то тело движется с ускорением.

Трение обусловлено шероховатостью поверхностей тел — взаимодействием этих поверхностей. При очень гладких по­верхностях главной причиной трения становятся межмолеку­лярные силы сцепления.

Рис. 1.

Опыт показывает, что приблизительно F_{тр ск} пропорциональ­на силе нормального давления N, т.е. силе, прижимающей тела друг к другу

F_{тр ск} = N (1)

В случае скольжения тела по горизонтальной поверхности N = тg, а — коэффициент трения. Он зависит от многих при­чин: материала и качества обработки поверхностей, скорости движения, влажности, температуры и т.д. Коэффициент трения величина безразмерная и дается в таблицах. В сельскохозяй­ственной практике на различии основано разделение семян растений. Например, для проса и овса _ов > _пр.

Подбором утла наклона транспортера а добиваются того, чтобы семена проса и овса (рис. 2) ссыпались с разных сторон ленточного транспортера. Там, где трение вредно, его умень­шают, применяя смазку (т.е. заменяя сухое трение жидким — внутренним трением). Другой способ — трение качения (кат­ки, подшипники, колеса). _{тр.кач тр.ск}. Сила трения качения обратно пропорциональна радиусу колеса

F_{тр. кач. = (2)}

Коэффициент измеряется в метрах. По этой причине колеса телег иногда имеют большой радиус.

Сила упругости

С помощью внешней силы (F_деф) тело можно деформировать, т.е. изменить форму и размеры тела. При этом в нем возникает противодействующая сила — сила упругости

F_деф = - F_ynp.

Рассмотрим, например, деформацию одностороннего растяже­ния. Она характеризуется величиной деформации (удлинением) х (рис. 3).

Рис. 3.

При устранении деформирующей силы сила упругости вос­станавливает первоначальную форму и размеры тела (ликвиди­рует деформацию х).

Существует несколько видов деформации: одностороннее ра­стяжение, односторонее сжатие, всестороннее растяжение, все­стороннее сжатие, кручение, сдвиг, изгиб. Каждый вид дефор­мации вызывает соответствующую силу упругости.

Закон Гука

Опыт показывает, что при малой деформации сила упругости пропорциональна величине деформации — закон Гука:

F_ynp = -k x, (3)

где к — коэффициент упругости (жесткости) измеряется в Н/м и зависит как от материала тела, так и от его размеров. Знак минус указывает на противоположность направлений F_ynp и х. Деформация называется упругой, если после устранения дефор­мирующей силы тело полностью восстанавливает первоначаль­ный размер и форму. Упругие деформации — малые деформа­ции. При деформации в теле возникает внутреннее напряжение, равное отношению деформирующей силы F к площади попереч­ного сечения S деформируемого тела, оно измеряется в Паска­лях (Па).

При больших деформациях возникает остаточная деформа­ция, при этом тело не восстанавливает полностью свою форму и размеры. При еще большей деформации тело разрушается. Остаточная деформация наступает, когда значение внутренне­го напряжения превышает предел упругости.

Пределом упругости называют максимальное значение вну­треннего напряжения, при котором еще имеет место упругая деформация.

Рассмотрим подробнее деформацию одностороннего растя­жения. Опыт показывает, что

или ,

где е — модуль Юнга, характеризующий упругие свойства ве­щества стержня и называемый модулем упругости.

и .

При S = 1 м²; х = х будет F_деф = Е, т.е. модуль Юнга числен­но равен силе, растягивающей стержень единичного поперечного сечения вдвое.

.

Модуль Юнга зависит от материала образца и дается в табли­цах. Величина модуля Юнга колеблется от 0,17 • 10¹¹ Па для свинца до 2,2 • 10¹¹ Па для стали.

Все изложенное для одностороннего растяжения относится и к остальным видам деформации.