Квантовые числа

В квантовой ме­ханике доказывается, что уравнению Шре­дингера ( 18 ) удовлетворяют собствен­ные функции определяе­мые тремя квантовыми числами: глав­ным . орбитальным и магнитным .

Главное квантовое число п, согласно ( 19 ), определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения начиная с единицы:

п= 1,2,3,....

Из решения уравнения Шредингера вы­текает, что момент импульса (механи­ческий орбитальный момент) электрона квантуется, т. e. не может быть произ­вольным, а принимает дискретные значе­ния, определяемые формулой

(25)

где — орбитальное квантовое число, ко­торое при заданном п принимает зна­чения

=0,1,..., (п- 1), (26 )

т. e. всего п значений, и определяет мо­мент импульса электрона в атоме.

Из решения уравнений Шредингера сле­дует также, что вектор , момента им­пульса электрона может иметь лишь та­кие ориентации в пространстве, при ко­торых его проекция L,, на направление z внешнего магнитного поля принимает квантованные значения, кратные h:

(27 )

где т, — магнитное квантовое число, ко­торое при заданном может принимать значения

(28)

т. e. всего 2 + 1 значений. Таким об­разом, магнитное квантовое число т, оп­ределяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление, при­чем вектор момента импульса электрона в атоме может иметь в простран­стве 2 +1 ориентаций.

Наличие квантового числа т, должно привести в магнитном поле к расщепле­нию уровня с главным квантовым чис­лом п на 2 +1 подуровней. Соответствен­но в спектре атома должно наблюдать­ся расщепление спектральных линий. Дей­ствительно, расщепление энергетических уровней в магнитном поле было обна­ружено в 1896 г. голландским физиком П. Зееманом (1865-1945) и получило наз­вание эффекта Зеемана. Расщепление уровней энергии во внешнем электриче­ском поле, тоже доказанное эксперимен­тально, называется эффектом Штарка .

Хотя энергия электрона и зависит только от главного квантового числа п, но каждому собственному значению (кроме ) соответствует несколько соб­ственных функций ,отличающихся значениями и . Следовательно, атом водорода может иметь одно и то же значение энергии, находясь в несколь­ких различных состояниях. Так как при данном и орбитальное квантовое число может изменяться от 0 до п—1, а каждому значению соответ­ствует 2 +1 различных значений , то число различных состояний, соответ­ствующих данному п, равно

(29)

В теории Бора априорно, в качестве исходных, вводились те же квантовые числа: главное квантовое число п опре­деляло энергию (или скорость) электрона по круговой (или эллиптической) орбите, орбитальное квантовое число / — размеры орбиты (а следовательно, и момент им­пульса (mvr) электрона по орбите), магнит­ное квантовое число т( — ориентацию орбиты в пространстве. Появление же квантовых чисел и значений, принимаемых ими, в квантовой механике является следствием решений уравнения Шредингера и условий однозначности, непре­рывности и конечности, налагаемых на волновую функцию . Кроме того, по­скольку при движении электрона в атоме существенны волновые свойства электро­на, квантовая механика вообще отказы­вается от классического представления об электронных орбитах. Согласно кван­товой механике, каждому энергетическому состоянию соответствует волновая фун­кция, квадрат модуля которой опреде­ляет вероятность обнаружения электрона в единице объема.

Вероятность обнаружения электрона в различных частях атома различна. Элек­трон при своем движении как бы “разма­зан” по всему объему, образуя электрон­ное облако, плотность (густота) которо­го характеризует вероятность нахожде­ния электрона в различных точках объ­ема атома. В квантовой механике при­нимается, что квантовые числа п и характеризуют размер и форму электрон­ного облака, а квантовое число т, характеризует ориентацию электронного облака в пространстве.

В атомной физике, по аналогии со спектроскопией, состояние электрона, ха­рактеризующееся квантовыми числами = 0, называют s-состоянием (электрон в этом состоянии называют s-электроном), = 1 - р-состоянием, = 2 - d-сос­тоянием, = 3 - f-состоянием .и т. д. Зна­чение главного квантового числа указы­вается перед условным обозначением ор­битального квантового числа. Например, электроны в состояниях с п = 2 и = 0и 1 обозначаются соответственно симво­лами 2s и 2р.

Рис. 2

На рис. 2 для примера приведено распределение электронной плотности (формы электронного облака) для состоя­ний атома водорода при п = 1 и п = 2, определяемое . Как видно из ри­сунка, оно зависит от п, и т,. Так, при = 0 электронная плотность отлич­на от нуля в центре и не зависит от направления (сферически симметрична), а для остальных состояний в центре равна нулю и зависит от направления. Спин электрона Магнитный момент атома, связанный с движением электрона, пропорционален механическому моменту, поэтому он равен нулю, и магнитное поле не должно оказывать влияние на движение атомов водорода в основном состоянии, т.е. расщепления быть не должно.

Однако в дальнейшем при применении спектральных приборов с большой разрешающей способностью было доказано, что спектральные линии атома водорода обнаруживают тонкую структуру (являются дублетами) даже в отсутствие магнитного поля.

Для объяснения тонкой структуры спектральных линий, а также ряда других трудностей в атомной физике американские физики Д.Уленбек (р.1900) и С.Гаудсмит (1902-1979) предположили, что электрон обладает собственным неуничтожимым механическим моментом импульса, не связанным с движением электрона в пространстве,- спином.

Спин электрона (и всех других микрочастиц) – квантовая величина, у нее нет классического аналога; это внутреннее неотъемлемое свойство электрона, подобное его заряду и массе. Наличие у электрона спина вытекает из полученного П.Дираком релятивистского квантового уравнения для электрона.

Если электрону приписывается собственный механический момент импульса (спин) ,то с ним оказывается связанным некоторый собственный магнитный момент . Согласно общим выводам квантовой механики, спин квантуется по закону

где s – спиновое квантовое число.

По аналогии с орбитальным моментом импульса, проекция спина квантуется так, что вектор , может принимать ориентаций. Так как в опытах Штерна и Герлаха наблюдались только две ориентации, то 2s + 1 = 2, откуда s = ½. Проекция спина на направление внешнего магнитного поля, являясь квантованной величиной, определяется выражением:

где - магнитное спиновое квантовое число; может иметь только два значения: =

Таким образом, опытные данные привели к необходимости характеризовать электроны (и микрочастицы вообще) добавочной внутренней степенью свободы. Поэтому для полного описания состояния электрона в атоме необходимо наряду с главным, орбитальным и магнитным квантовыми числами задавать еще магнитное спиновое квантовое число.