Примеры. - сходится, как геометрическая прогрессия, исходный ряд тоже сходится.

1.

- сходится, как геометрическая прогрессия, исходный ряд тоже сходится.

2. ; ;

, . Но - расходится, ; ; - расходится.

3. Исследовать на сходимость ряд .

Из неравенства следует, что

Рассмотрим частичную сумму ряда .

.

Предел последовательности частичных сумм

.

По определению ряд сходится, а следовательно по первому признаку сравнения сходится исследуемый ряд .

Теорема 3.(второй признак сходимости)

Пусть имеются два ряда с неотрицательными членами

(а)

и

, (b)

кроме того, существует конечный, отличный от нуля, предел

Тогда ряды (а) и (b) сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство.

По условию теоремы , т.к. то . Выберем произвольное , но такое, что . Это означает, что

Из определения предела следует, что найдется такой номер , что для всех

будет выполняться неравенство

. (4)

т.к. , то неравенство (4) можно записать в виде (5)

(5)

Если ряд сходится, то по свойствам сходящихся рядов сходится ряд , тогда из неравенства (5) следует, что , тогда по первому признаку сходимости ряд сходится.

Если ряд расходится, то расходится и ряд . Из неравенства (5) следует, что тогда согласно первому признаку сходимости будет расходиться ряд .

Проводя аналогичные рассуждения можно доказать, что из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .