Разложение периодических функций в ряд Фурье. До сих пор рассматривались линейные цепи при постоянных и синусоидальных напряжениях и токах

До сих пор рассматривались линейные цепи при постоянных и синусоидальных напряжениях и токах. Синусоидальная форма кривых позволила применить векторные диаграммы и символический метод, весьма упростившие расчет цепей.

В электротехнике стремятся к синусоидальной форме периодических кривых, так как большинство устройств при этом работает лучше, однако на практике кривые несколько отличаются от синусоид. Более того, в устройствах электронной и вычислительной техники часто напряжения и токи должны быть несинусоидальными. В этих случаях можно использовать рассмотренные ранее методы расчета цепей, если разложить периодические несинусоидальные кривые в ряд Фурье.

Как известно из математики, периодическая функция , удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть приближенно представлена тригонометрическим рядом . Этот ряд состоит из суммы постоянной составляющей А₀ и синусоид разных частот , где k – целые числа, начиная с единицы, :

.

Причем член называют постоянной составляющей, член , имеющей частоту, равную частоте данной функции, называют основной или первой гармоникой, а все остальные члены вида носят название высших гармоник.

Ряд Фурье может быть записан в другой форме, если развернуть синусы сумм:

,

где и ,

т.е. , .

Коэффициенты ряда необходимо вычислять следующим образом:

, и .

Постоянная составляющая ряда является, очевидно, средним значением функции за период.

Часто периодическая функция, подлежащая разложению в ряд Фурье, задается не аналитическим выражением, а в виде графика. В этом случае разложение в ряд можно выпол­нить приближенно, заменив интегрирование суммированием подын­тегральных выражений для конечного числа ординат кривой . Для п равноотстоящих друг от друга на ординат следует подставить вместо .

Тогда . Аналогично ,