Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля. Эквипотенциальные поверхности.

Как известно из механики, если работа совершается за счет потенциальной энергии, то она равна убыли:

(1) Определим работу в том случае, когда перемещение заряда так мало, что на всем его протяжении силу можно считать постоянной по величине и направлению

(2) где - проекция на направление Т.к. Wр =qj,

Подставим (2), (3) в (1) .

Таким образом, проекция на произвольное направление равна взятой с обратным знаком производной j по , т.е. скорости убывания потенциала вдоль направления . В электростатическом поле всегда существует направление, вдоль которого скорость изменения потенциала наибольшая. Например, в поле точечного заряда это радиальное направление. Обозначим его . Напряженность поля равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус означает, что вектор направлен в сторону убывания потенциала. Для однородного поля: А=

Найдем работу перемещения заряда q в направлении, перпендикулярном линиям. (т.к. ). С другой стороны, т.е.

Таким образом, изменение потенциала в направлении, перпендикулярном силовым линиям, равно нулю, т.е. в этом направлении потенциал не изменяется. В электрическом поле можно провести поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал. Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной. Работа перемещения заряда по эквипотенциальной поверхности равна нулю, т.к. j1=j2. Эквипотенциальные поверхности всегда перпендикулярны линиям . Их условились проводить таким образом, чтобы Dj для двух соседних поверхностей была одинакова.