Раздел III. Электрическое поле.

Взаимодействие между зарядами осуществляется через электрическое поле. Электрическое поле покоящихся зарядов называется электростатическим. Электростатическое поле отдельного заряда можно обнаружить, если внести в это поле другой заряд, на который в соответствии с законом Кулона будет действовать определенная сила. Внесем в электрическое поле, созданное зарядом q, точечный положительный заряд, называемый пробным . На этот заряд, по закону Кулона, будет действовать сила

Если в одну и туже точку помещать разные пробные заряды , и т.д., то на них будут действовать различные силы, пропорциональные этим зарядам. Отношение для всех зарядов, вносимых в поле, будет одинаковым и будет зависеть лишь от q и r, определяющих электрическое поле в данной точке. Эта величина является силовой характеристикой электрического поля и называется напряженностью (E). Итак

,

т.е. напряженность данной точки электрического поля это сила действующая на единичный положительный заряд, помещенный в эту точку.

Учитывая закон Кулона (13.1) нетрудно получить выражение для напряженности поля создаваемого точечным зарядом q

или в векторной форме

(13.2)

За единицу напряженности принимается напряженность в такой точке поля, в которой на единицу заряда действует единица силы.

Закон Кулона. Законы взаимодействия неподвижных электрических зарядов изучает электростатика. Основной закон электростатики был экспериментально установлен французским физиком Шарлем Кулоном (1736—1806) в 1785 г. В опытах Кулона измерялись силы взаимодействия заряженных шаров. Опыты показали, что модуль силы взаимодействия двух точечных неподвижных заряженных тел прямо пропорционален произведению абсолютных значений зарядов q₁ и q₂ и обратно пропорционален квадрату расстояния r между телами:

. (37.1)

Сила направлена вдоль прямой, соединяющей заряженные тела. Она является силой отталкивания при одинаковых знаках зарядов q₁ и q₂ и силой притяжения при разных знаках.
Взаимодействие неподвижных электрических зарядов называют электростатическим или кулоновским взаимодействием.

Единица электрического заряда. В международной системе за единицу заряда принят кулон (Кл).
Кулон — это заряд, проходящий за 1 с через поперечное сечение проводника при силе тока 1 А.

Электрическая постоянная. Коэффициент пропорциональности k в выражении закона Кулона в системе СИ равен

. (37.2)

Вместо коэффициента k часто используется коэффициент, называемый электрической постоянной. Электрическая постоянная связана с коэффициентом k выражением

. (37.3)

Отсюда следует ;

.

С использованием электрической постоянной закон Кулона имеет вид

. (37.4)

5.1. Напряжённость электрического поля. Силовой характеристикой электрического поля является вектор напряжённости электрического поля E, равный отношению вектора силы, действующей в данной точке поля на пробный положительный заряд, к величине этого заряда:

( 5.1)

Напряжённость в системе единиц СИ выражается в ньютонах на кулон (Н/Кл).

5.2. Напряжённость электрического поля точечного заряда.Во многих задачах электростатики размерами заряженных тел по сравнению с расстояниями до точек наблюдения можно пренебречь. В таких случаях говорят о точечных зарядах. Понятно, что на самом деле никаких точечных зарядов или заряженных точек в природе не существует, — это просто удобная абстракция.

Закон Кулона, как вы знаете, справедлив именно для точечных зарядов. Непосредственно из закона Кулона следует, что модуль вектора напряжённости электрического поля точечного заряда Q:

(5.2)

где R – расстояние до точки наблюдения, q – пробный положительный заряд.

5.3. Силовые линии электростатического поля.Фарадей, который ввёл понятие электрического поля, внутренним взором видел заряды, окружённые полями. Изображать их он стал линиями, вдоль которых на пробный заряд со стороны поля действуют силы. Силовые линии электростатического поля часто называют линиями напряжённости, т.к. вектор напряжённости электрического поля в любой точке такой линии касательно к ней. Вместо пробного заряда для построения силовых линий удобнее использовать электрический диполь.

Введя в электрическое поле положительный пробный заряд на нити, по его отклонению от положения равновесия определим направление напряжённости поля. Уберём заряд и вместо него в ту же точку внесём диполь. При этом обнаружим, что он повернулся своим положительным полюсом в направлении вектора напряжённости электрического поля. Используя диполь, нетрудно экспериментально доказать, что электрическое поле можно характеризовать силовыми линиями, т.е. такими линиями, в каждой точке которых напряжённость поля является касательной к ним.

Для этого создадим произвольное электрическое поле, введём в него диполь и отметим положение его положительного и отрицательного полюсов. Переместим диполь так, чтобы его, например, отрицательный полюс совпал с точкой, в которой находился положительный. Многократно повторяя эту операцию, получим совокупность точек. Соединив эти точки плавной линией, получим силовую линию исследуемого электростатического поля.

Опыт показывает, что через каждую точку поля проходит только одна силовая линия. Если бы было не так, то в точке пересечения двух силовых линий одного поля на заряд действовали бы разные силы.

Повторяя описанные выше действия, построим семейство силовых линий так, чтобы их начальные точки находились на поверхности заряженного тела на равных расстояниях друг от друга. Обнаружим, что силовые линии располагаются с различной густотой. Внесём в поле пробный заряд на нити в области с максимальной и минимальной густотой силовых линий и обнаружим, что в этих областях напряжённость электрического поля соответственно максимальна и минимальна.

Силовые линии сгущаются возле зарядов, т.е. там, где модуль вектора напряжённости электрического поля больше. Значит, густота силовых линий определяется напряжённостью поля. Семейство силовых линий в принципе может полностью охарактеризовать электрическое поле.

Проделанные опыты показывают, что силовые линии начинаются или заканчиваются на зарядах, идут в бесконечность или выходят из неё. В электростатическом поле замкнутых силовых линий нет.

5.4. Принцип суперпозиции напряжённостей электростатических полей. Из принципа суперпозиции полей следует, что сила, действующая на пробный заряд со стороны других зарядов, равна геометрической сумме всех действующих на заряд сил по отдельности. Но если это так, то напряжённости электрических полей, равные отношениям сил к величине пробного заряда, складываются подобно силам.

Таким образом, для электрических полей справедлив принцип суперпозиции в следующей формулировке:напряжённость результирующего электрического поля есть геометрическая (векторная) сумма напряжённостей полей, создаваемых отдельными зарядами:

E = E₁ + E₂ + E₃ + … (5.3)

Применение принципа суперпозиции для напряжённостей позволяет существенно облегчить решение многих задач электростатики.

5.5. Поток вектора напряжённости электрического поля. Представим себе точечный положительный заряд Q, находящийся в центре сферической поверхности 1 радиусом r. В точках этой поверхности напряжённость электрического поля Так как площадь

поверхности сферы S = 4 r², то её произведение на напряжённость электрического поля не зависит ни от чего, кроме заряда:

(5.4)

поэтому характеризует электрическое поле в целом. Эта величина получила название потока вектора напряжённости электрического поля.

Поток напряжённости через концентрические сферические поверхности 1 и 2 одинаков. Так как он характеризует поле заряда в целом, нужно, чтобы он оставался тем же и для произвольной замкнутой поверхности 3. Но для неё вектор напряжённости уже не является нормалью к элементу поверхности. Поэтому для определения потока вектора E через элемент поверхности вместо площади этого элемента следует брать площадь его проекции на плоскость, перпендикулярную вектору E. Условимся поток считать положительным, если вектор напряжённости выходит из замкнутой поверхности, и отрицательным, если он входит в неё. Если заряд находится вне замкнутой поверхности 4, то поток напряжённости через неё равен нулю. Дело в том, что входящий внутрь области поток по модулю равен выходящему.

5.6. Теорема Гаусса. Мысленно переместим заряд из центра сферической поверхности в любую точку внутри неё. Очевидно, поток вектора напряжённости электрического поля от этого не изменится, т.к., по самому определению, он один и тот же для любой замкнутой поверхности, окружающей заряд. Разместим внутри этой поверхности не один, а несколько в общем случае различных зарядов. По принципу суперпозиции электрические поля этих зарядов не влияют друг на друга, значит, потоки, созданные каждым зарядом по отдельности, остаются неизменными. Результирующий поток, очевидно, равен сумме потоков от всех зарядов.

Это и есть теорема Гаусса: поток вектора напряжённости через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, делённой на электрическую постоянную:

(5.5)

Если алгебраическая сумма зарядов внутри замкнутой поверхности равна нулю, то поток напряжённости электрического поля через эту поверхность также равен нулю. Это понятно, поскольку положительные заряды внутри поверхности создают положительный поток, а отрицательные – равный ему по модулю отрицательный.