Формула Бернулли

Если производится несколько испытаний, причем вероятность события в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события . Рассмотрим независимые испытания, в котором событие имеет одну и ту же вероятность.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие может появиться либо не появиться. Условимся считать, что вероятность события в каждом испытании одна и та же, а именно – . Следовательно, вероятность не наступления события равна .

Перед нами будет стоять задача найти вероятность того, что при n испытаниях событие осуществится раз, следовательно, не осуществится раз. Не требуется, чтобы событие повторилось ровно раз в определенной последовательности. Искомую вероятность обозначим

Поставленную задачу можно решить с помощью формулы Бернулли.

Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в n испытаниях событие наступит m раз и не наступит раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий равна

Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из элементов по элементов, т.е. . Так как эти сложные события несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий, искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий. Поскольку вероятности всех этих сложных событий одинаковы, то

– это есть формула Бернулли.

Рассмотрим пример. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна . Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжение суток равна , следовательно

.

Тогда, используя формулу Бернулли, можно найти искомую вероятность