Классификация точек разрыва функции

Точка называется точкой разрыва функции если в точке не является непрерывной.

Разрыв первого рода.

Точка называется точкой разрыва первого рода функции если в этой точке функция имеет конечный левый и правый пределы и они не равны между собой

Разрыв второго рода.

Точка называется точкой разрыва второго рода функции , если в этой точке функция не имеет, по крайней мере, одного из односторонних пределов.

Рассмотрим пример. Исследовать на непрерывность функцию

в точках

Определим, как ведет себя функция в точке

Найдем значение функции в заданной точке

Найдем предел данной функции при

Так как

то можно сделать вывод, что функции в заданной точке непрерывна.

Определим, как ведет себя функция в точке

В точке неопределена, следовательно, в точке функция терпит разрыв, так как одно из условий непрерывности функции нарушено. Определим разрыв, какого рода, т.е. как ведет себя функция в окрестности данной точки слева и справа

В точке функция терпит разрыв второго рода (бесконечный разрыв).

Контрольные вопросы

1. Какая функция называется непрерывной?

2. Назвать виды разрывов функций.

3. Какие функции называют бесконечно малыми, а какие называют бесконечно большими?

4. Записать первый и второй замечательные пределы.