Линейные операции над векторами.

Линейными операциями над векторами называется сложение векторов и умножение вектора на число.

Суммой векторов является вектор начало которого совпадает с началом вектора , а конец с концом вектора при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора (правило треугольников).

Каковы бы не были точки , имеет место векторное равенство

.

Рис. 4

Сложение векторов по правилу треугольников

Покажем сложение коллинеарных векторов с помощью параллельного переноса рис.5.

Рис.5

Если векторы и неколлинеарны, их можно отложить от одной точки, достроив затем параллелограмм. Диагональ параллелограмма есть сумма векторов и

Рис. 6

Правило параллелограмма

Свойства сложения векторов.

Для любых векторов и заданных в пространстве справедливы равенства:

1) переместительный закон

2) сочетательный закон

Произведением ненулевого вектора на число называется вектор , длина которого равна . Причем векторы и сонаправлены, если и противоположно направлены при

Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.

Рис.7

Произведение вектора на число

Свойства умножения вектора на число.

Для любых векторов и любых чисел справедливы равенства:

1) сочетательный закон

2) первый распределительный закон ;

3) второй распределительный закон

Любой вектор на плоскости может быть представлен, и притом единственным образом, в виде двух любых неколлинеарных векторов и

Рис.8

Базис вектора

Числа называются координатами вектора. Векторы и называются базисом вектора на плоскости.

Базисом пространства называют любые три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.

Любой вектор может быть представлен, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации трех любых неколлинеарных векторов и

.

Числа называют координатами вектора в данном базисе