Декартова система координат

Декартова система координат в пространстве определяется заданием линейной единицы для измерения длин и трех пересекающихся в одной точке взаимно перпендикулярных осей. Точка пересечения осей называется началом координат, а сами оси – координатными осями. Первая координатная ось называется осью абсцисс, вторая – осью ординат, а третья – осью аппликат. Начало координат обозначается буквой , координатные оси соответственно символами – Отложив на осях в положительном направлении отрезки равные единице масштаба, получим три основных вектора

Рис.9

Декартова система координат в пространстве

Пусть -произвольная точка пространства, -ее проекции на координатные оси. Координатами точки в заданной системе называются числа где - величина отрезка оси абсцисс, - величина отрезка оси ординат, - величина отрезка оси аппликат. Число называется абсциссой, y-ординатой, -апликатой точки Символ обозначает, что точка имеет координаты

Чтобы найти компоненты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты начала. Если заданы точки

то

Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве то

Если точка делит отрезок в соотношении от то координаты этой точки определяются так:

В частном случае координаты середины отрезка находятся как

Линейные операции над векторами в координатах.

Пусть заданы векторы тогда

Расстояние между двумя точками определяется по формуле

Рассмотрим пример. Даны точки на прямой найти точку делящую отрезок в отношении

Следовательно, - искомая точка.

Рассмотрим пример. На оси найти точку, равноудаленную от точек и

Должно выполняться равенство Так как точка лежит на оси то ее координаты Тогда