Электрическое поле в диэлектриках.

Теперь рассмотрим, как изменяются характеристики электрического поля в диэлектрике. Будем рассматривать идеальный диэлектрик, т.е. такой, в котором отсутствуют свободные заряды, все заряды связаны в микроскопические нейтральные комплексы (атомы, молекулы, ионы и электроны, входящие в кристаллическую ячейку). Связанные заряды не могут удаляться друг от друга на макроскопические расстояния (эти расстояния порядка 10 м). В первом приближении диэлектрик можно представить как совокупность микродиполей.

Поляризованность и связанный заряд в диэлектрике.

Главным макроскопическим электрическим свойством диэлектриков является их поляризация, которую можно характеризовать с помощью вектора поляризации или поляризованности . Как всякое макроскопическое явление поляризация имеет свою микроскопическую природу. В диэлектрике либо уже имеются микродиполи (полярные молекулы, у которых «центры тяжести» положительных и отрицательных зарядов пространственно разнесены), либо они возникают под действием внешнего электрического поля, раздвигающего в разные стороны заряды разных знаков (неполярные молекулы). Поляризованность это суммарный дипольный момент в единице объема.

, ( 2.5.1 )

где - дипольный момент микродиполя, а суммирование производится по физически бесконечно малому объему .

В отсутствие электрического поля диполи хаотически ориентированы в диэлектрике и его поляризованность равна нулю. При помещении диэлектрика в электрическое поле диполи определенным образом ориентируются в этом поле (см. лекцию 2.2), что приводит к возникновению в результате поляризации к не равной нулю локальной объемной и поверхностной плотности связанного заряда. Однако, в диэлектриках силы притяжения между соседними микродиполями значительно слабее сил, связывающих заряды внутри диполя (при разделении диэлектрика каждый микродиполь на границе раздела не разрывается, а целиком остается в одной из частей). Поэтому любой образец диэлектрика имеет нулевой суммарный заряд:

, ( 2.5.2 )

где V - объем образца, а S - площадь его поверхности. Поляризованность в этом случае становится отличной от нуля, она пропорциональна напряженности поля и для изотропных диэлектриков связана с ней

, ( 2.5.3 )

где - не зависящая от напряженности величина, называемая диэлектрической восприимчивостью диэлектрика.

Для получения соотношения, связывающего поляризованность с плотностью связанного заряда, рассмотрим плоский слой изотропного диэлектрика, находящийся в однородном электрическом поле (рис.2.5.1). За счет поляризации на краях диэлектрика появляется связанный заряд с поверхностной плотностью + и ─ . Выделим мысленно в диэлектрике элементарный объем в виде очень тонкого цилиндра с образующими, параллельными вектору напряженности, и с основаниями площади , совпадающими с поверхностями диэлектрика. Этот объем обладает дипольным моментом , который можно представить двумя способами. Макроскопически этот объем эквивалентен диполю, образованному зарядами + и ─ , отстоящими друг от друга на расстояние l: . С другой стороны этот дипольный момент можно записать как произведение поляризованности на объем выбранного цилиндра . Приравняв друг другу оба выражения, получим

, ( 2.5.4 )

где - проекция поляризованности на внешнюю по отношению к диэлектрику нормаль.

Объемную плотность связанного заряда также можно выразить через поляризованность. Для этого учтем, что по теореме Гаусса-Остроградского можно записать , а из (2.5.2) . Тогда . ( 2.5.5 )

Таким образом, источниками линий вектора поляризованности являются связанные заряды.

Вектор электрической индукции. Теорема Гаусса для поля в диэлектрике.

Связанные заряды отличаются от сторонних тем, что не могут покинуть пределы молекул, в состав которых они входят. В остальном их свойства такие же, как и у сторонних. В частности они служат источниками электрического поля. Поэтому в формуле теоремы Гаусса (2.3.9) нужно учитывать и сторонние и связанные заряды:

. ( 2.5.6 )

Тогда с учетом (2.5.5) будем иметь

. ( 2.5.7 )

Выражение, стоящее в (2.5.7) в скобках обозначают обычно и называют электрической индукцией (или электрическим смещением). Эта величина удобна тем, что ее источниками являются только сторонние заряды, что упрощает расчет электрических полей.

(2.5.8 )

Безразмерную величину

( 2.5.9 )

называют диэлектрической проницаемостью среды. Напомним, что мы рассматривали изотропный диэлектрик. В этом случае - скаляр и векторы и сонаправлены. В анизотропных диэлектриках диэлектрическая проницаемость – тензор, и и , вообще говоря, неколлинеарны.

Единицей измерения электрической индукции в системе СИ является (Кл/м ).

Таким образом, для электрического поля в диэлектрике (или в общем виде) теорема Гаусса в дифференциальной форме математически может быть представлена

( 2.5.10 ) . (2.5.11 )

Поток вектора через произвольную замкнутую поверхность равен суммарному стороннему заряду, заключенному внутри этой поверхности. Если характеризовать поле вектором , то для поля в диэлектрике

. ( 2.5.12 )

Из (2.5.12) следует, что напряженность поля в диэлектрике ослабевает по сравнению с вакуумом в раз (то же и с потенциалом). Поэтому, например, напряженность и потенциал поля точечного заряда в диэлектрике вычисляют по формулам: ; ; ( 2.5.13 )

напряженность поля бесконечной плоскости ; ( 2.5.14 )

электроемкость плоского конденсатора ; (2.5.15 )

и так далее.

Граничные условия для векторов и .

Для общности будем полагать, что на границе двух однородных изотропных диэлектриков имеется сторонний поверхностный заряд. Пусть индукция электрического поля вблизи границы раздела в диэлектрике 1 равна , а в диэлектрике 2 - . Выберем цилиндр физически малого объема, расположив его на границе раздела диэлектриков (рис.2.5.2). Тогда можно пренебречь кривизной границы и считать поле вектора однородным в пределах сечения цилиндра, а площадь боковой поверхности считать практически равной нулю.

Согласно теореме Гаусса для вектора индукции можно записать (поток вектора отличен от нуля только через основания цилиндра, поток через боковую поверхность равен нулю)

,

где - поверхностная плотность стороннего заряда на границе раздела.

Перейдем к проекции вектора на единое к границе направление нормали (рис.2.5.2). При этом , а . Окончательно приходим к выражению

.

(2.5.16)

Из этого соотношения видно, что нормальная составляющая вектора претерпевает скачок на границе раздела двух диэлектриков, однако, если на границе нет сторонних зарядов, то нормальные составляющие одинаковы по разные стороны границы

. (2.5.17)

.13)

Пусть напряженность электрического поля вблизи границы раздела в диэлектрике 1 равна , а в диэлектрике 2 - . Возьмем небольшой прямоугольный контур, ориентировав его так, чтобы две стороны были параллельны границе. Их длина настолько мала, что вдоль них можно считать электрическое поле однородным. Высота контура стремится к нулю (рис.2.5.3).

Тогда согласно теореме о циркуляции вектора

.

Перейдем к проекции вектора на единое направление касательной к границе раздела (рис.2.5.3). При этом , а . Окончательно приходим к выражению

.

(2.5.18)

Согласно (2.5.18) тангенциальные составляющие вектора одинаковы по разные стороны границы.

Согласно формулам (2.5.17) и (2.5.18) можно получить граничные условия на границе раздела диэлектриков для и . Воспользуемся выражением . Формулу (2.5.17) можно записать для

Нормальная составляющая вектора меняется скачком на границе двух диэлектриков.Формулу (2.18) можно преобразовать к виду

Тангенциальная составляющая вектора также меняется скачком на границе двух диэлектриков.

На рисунке 2.5.4 (а, б) Показано, как меняются векторы и при переходе через границу диэлектриков. Из рис.2.5.4.а можно записать для углов наклона силовых линий индукции и напряженности электрического поля следующие соотношения:

, .

Если на границе раздела нет сторонних зарядов и , то отношение тангенсов углов наклона силовых линий равно

.

(2.5.19)

Из полученного соотношения следует, что в диэлектрике с бớльшим значением силовые линии будут составлять больший угол с нормалью к границе раздела. В случае, изображенном на рис.2.5.4, .