Решение задач по динамике движения материальной точки по окружности

Пример 2.4.

Определить угол между вертикальной осью конического маятника и нитью, если тело движется с постоянной угловой скоростью w. Длина невесомой нити подвеса L.

Решение

a=?

w, L, g=9,8 м/с²

Пусть масса конического маятника равна m. Движение материальной точки происходит в горизонтальной плоскости под действием силы натяжения нити Т и силы тяжести mg(см. рисунок).

Основной закон динамики для данной задачи имеет вид:

ma = Т + mg. (1)

Выберем начало системы координат в центре движущегося по окружности тела так, чтобы ось Х проходила через центр окружности, а ось Y направим вверх. Проецируя уравнение (1) на оси, имеем:

(2)

Нормальное ускорение материальной точки а_n = w²r. Из чертежа следует, что радиус траектории маятника r=ОМ равен r=Lsina, где L=МВ – длина подвеса. Используя дополнительные соотношения, преобразуем уравнения системы (2):

(3)

Из уравнений (3) следует:

cosa = g/w²L,

или

a = arccos(g/w²L).

Пример 2.5.

На веревке длиной R = 1м висит груз массой m = 5 кг. Максимальное натяжение, которое может выдержать веревка, TMAX = 60 Н. Оборвется ли веревка, если ее отклонить на угол a = 30°? На какой максимальный угол можно отклонить веревку, чтобы она не разорвалась?

aMAX=? ОА=R=1м, m=5 кг, TMAX=60 H, a=30°

Решение.

На груз m действуют две силы: сила тяжести mg и сила натяжения Т. Основной закон динамики принимает вид:

ma = mg + Т. (1)

Выберем начало системы координат в центре движущегося по окружности тела так, чтобы ось Y проходила через центр окружности, а ось Х направим по касательной.

Проецируя уравнение (1) на оси Y и X имеем:

(2)

Ускорение а_х, входящее во второе уравнение системы (2) представляет собой тангенциальное ускорение и указывает, что модуль скорости движущегося тела меняется с течением времени. Сила натяжения Т в точке А определяется первым из уравнений (2):

(3)

Ускорение a_Y, есть нормальное или центростремительное, ускорение а_n. Очевидно, что максимальное натяжение веревка испытывает в точке А, так как в этой точке тело имеет максимальную скорость, а значит – максимальное нормальное ускорение. Используя выражение a_Y=а_n=V²/R для нормального ускорения, преобразуем уравнение (3):

(4)

Скорость тела в точке А можно определить с помощью закона сохранения механической энергии. В точке наибольшего отклонения полная механическая энергия – это потенциальная энергия е_П = mgh, где h = R(1- соsa). В точке А механическая энергия равна кинетической (за нулевой уровень потенциальной энергии удобно принять уровень соответствующий нижней точке А). Уравнение закона сохранения энергии запишем так:

.

Откуда получим, что квадрат скорости с точке А равен

. (5)

Подставляя в (4) выражение (5) получим окончательно для силы натяжения:

. (6)

Подставляя в (6) максимальное значение силы Т=Тmax можно определить угол при котором веревка оборвется, т. к. достигается предельное усилие. Расчеты дают что a_max=45°.

Итак, если веревку отклонить на 30°, то она не оборвется.

Пример 2.6.

Тело скатывается с вершины гладкой сферической поверхности радиуса R. Найти, при какой скорости тело оторвется от поверхности. Считать, что трение отсутствует.

Решение.

H=? R m=0

На скользящее тело действуют сила тяжести mg и сила N нормальной реакции полусферы. Уравнение движения имеет вид

. (1)

Направим ось Х по касательной поверхности полусферы, ось Y – радиально в направлении ее центра. Проецируя уравнение (1) на оси получим:

Преобразуем полученные уравнения.

(3)

Если учесть, что время движения dt может быть вычислено по формуле dt=dℓ/V, где dℓ=Rda, то первое уравнение приводится к следующему виду

.

Интегрируя последнее по V и a, получим соотношение

. (4)

В момент отрыва тела от полусферы реакция опоры обращается в ноль, и второе из уравнений (3) принимает вид

(5)

исключив a из соотношений (4) и (5) найдем

.

Пример 2.7.

Найти максимальную разность между силами натяжения нити при вращении в вертикальной плоскости шарика массой m на невесомой нити.

Решение

(Т1-Т2)МАХ=? m

На шарик действуют две силы: сила натяжения Т и сила тяжести mg. Уравнение движения (второй закон Ньютона) запишется так:

. (1)

Для нахождения максимальной разности между силами натяжения, возникающими при вращении шарика, вычислим силы натяжение нити в точках 1 и 2.

Для положения 1 уравнение движения в проекции на оси координат "1" запишется в виде:

, (2)

где .

Аналогично, в положении 2 для проекций в системе координат "2" имеем :

. (3)

так как , то из (2) и (3) имеем

(4)

Разность определим из закона сохранения энергии. Если выбрать за нулевой уровень отсчета потенциальной энергии уровень точки 1, то можно записать, что

.

Следовательно,

. (5)

Подставляя (5) в соотношение (4) имеем окончательно

.

Пример 2.8.

Вал в виде сплошного цилиндра массой m=10 кг насажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному концу которого подвешена гиря массой m₁=2 кг. С каким ускорением a будет опускаться гиря, если её предоставить самой себе.

a=?

m=10 кг, m₁=2 кг

Решение

В задаче участвуют два тела, совершающие различные движения: тело m₁ движется прямолинейно, вал – вращается. Уравнения движения имеют следующий вид:

, (1)

в системе уравнений (1) введены обозначения: а_t – тангенциальное ускорение точек на периферии вала, Т – сила натяжения шнура, r – радиус вала, М – момент, вращающий вал, а – ускорение тела m₁.

Момент, вращающий вал равен , J – момент инерции вала относительно геометрической оси. Рассматривая вал как однородный цилиндр, считаем, что его момент инерции равен J = 1/2m₁r².

Определим направление векторных величин (по правилу буравчика) и выбрав направление осей координат как показано на рисунке запишем систему (1) в проекциях.

(2)

При условии, что шнур нерастяжим и отсутствует его скольжение по поверхности вала тангенциальное ускорение а_t по модулю равно поступательному ускорению а груза m₁: а_t=а. С учетом дополнительных соотношений уравнения системы (1) примут вид:

(3) Решая систему относительно ускорения a получим:

.

Пример 11.

Через блок в виде диска, имеющий массу m=80г, перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы массами m₁=100г и m₂=200г. С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Трением пренебречь.

Решение.

а1, а2=? m=80 г=8×10–2 кг m1=100 г =10–1 кг m2=200 г=2×10–1 кг

Рассматриваемая в задаче система состоит из двух движущихся поступательно грузов и одного вращающегося диска. На каждый из грузов действует две силы: сила тяжести mg, направленная вниз, и сила Т натяжения нити, направленная вверх. Запишем законы поступательного и вращательного движения этих тел.

(1)

Результирующий вращающий момент, приложенный к диску, равен

М=М₂+М₄=[R₁,T₂]+[R₂,T₄],

R₁ и R₂ – радиус-векторы точек приложения сил натяжения нити T₂ и T₄. Предположим, что m₂ > m₁, поэтому ускорения грузов будет направлено, как показано на рисунке. Выберем произвольное направление осей координат (например, как на рисунке) и запишем систему уравнений в проекциях.

(2)

При условии, что нить нерастяжима, отсутствует ее скольжение по поверхности диска, тангенциальное ускорение точек на поверхности диска а_t по модулю равно поступательному ускорению а грузов: а_t=а. Угловое ускорение диска связано с линейным ускорением грузов соотношением ; в скалярной форме . Пренебрегая массой нити приходим к выводу, что силы натяжения Т₁ и Т₂ равны по величине. Учтем также, что момент инерции диска J = mr²/2. С учетом приведенных дополнительных соотношений система (2) принимает вид:

Решая полученную систему, получим

.

После подстановки числовых значений имеем