Кинематика движения по окружности

Если материальная точка М движется по окружности (см. рис. 1.3), то ее положение определяют вектором угла dj[1], который образован ее радиус-вектором R с некоторой, произвольно выбранной осью Х.

Рис.1. 3. На рисунке обозначены: V – линейная скорость, dj – угол поворота радиус-вектора точки за время dt, dj – вектор угла поворота, w– угловая скорость

Вектор угла dj можно определить следующим образом:

,

здесь e_Z – единичный вектор оси вращения Z. Заметим, что модуль радиус-вектора материальной точки равен радиусу окружности, по которой она движется: ½R½=R.

При решении задач удобно выбрать направление оси Х так, чтобы она проходила через начальное положение движущейся точки. Модуль вектора угла dj численно равен углу поворота радиус-вектора, измеренному в радианах; направление dj определяется по одной из альтернативных (Б.I) формулировок правила буравчика (правого винта).

· Правилобуравчика (Б.I): если расположить ось буравчика вдоль оси вращения и вращать его рукоятки в направлении движения материальной точки (в направлении ее линейной скорости), то направление поступательного движения конца буравчика укажет направление вектора угла dj.

Движениематериальной точки (а также центра масс материального тела) по окружности характеризуется угловой скоростью ωи угловым ускорениемe. Как в кинематике поступательного движения, можно ввести понятие средней и мгновенной угловой скорости, углового ускорения.

· Средняяугловаяскоростьw_CP равна отношению угла поворота Dj радиус-вектора материальной точки ко времени Dt, за которое этот поворот произошел:

,

где e_Z – единичный вектор оси вращения Z.

Средняя угловая скорость w_CP показывает, на какой угол повернулся радиус-вектор материальной точки за единицу времени. Измеряется она в единицах рад/c, чаще, опуская наименование "радиан" используют секунду в минус первой степени (с ^–1).

· Мгновенная угловаяскорость– это угловая скорость движения материальной точки в данный момент времени, в данной точке траектории.

· Мгновенная угловаяскорость ω – векторная физическая величина, равная первой производной угла поворота радиус-вектора материальной точки по времени:

Физический смысл мгновенной и средней угловой скорости одинаков – они характеризуют угол, на который повернулся радиус-вектор за единицу времени. Соотношения (1.12) и (1.13) указывают, что векторы угловой скорости параллельны вектору угла поворота dj.

· Векторы средней и мгновенной угловой скорости откладывают на оси вращения, их направление определяется по правилу (Б.I) буравчика (правого винта):

если расположить буравчик вдоль оси вращения и вращать рукоятки в направлении движения материальной точки (в направлении ее линейной скорости), то направление поступательного движения конца буравчика укажет направление вектора угловой скорости.

· Среднееугловоеускорениеe (или b)– векторная величина, равная отношению приращения угловой скорости Dw к промежутку времени, за который это изменение произошло:

.

Угловое ускорение показывает, на сколько изменилась угловая скорость за единицу времени.

· Мгновенноеугловоеускорениеe (или b) – векторная величина, равная первой производной угловой скорости w или второй производной угла j поворота по времени:

Угловое ускорение измеряется в рад/с², или с ^–2. Как следует из (1.12) и (1.13), угловое ускорение откладывают на оси вращения. При условии, что вектор eсовпадает по направлению с вектором угловой скорости ω, имеет место ускоренное вращение, если вектор eнаправлен противоположно вектору ω, то характер вращения – замедленный.

Основными характеристиками вращательного движения являются:

· периодвращения (обращения) Т – время одного полного оборота.

· частота вращенияn (используют также обозначения f, или n) – число полных оборотов в единицу времени.

Период вращения Т измеряется в секундах ( [T]=c), частота вращения в с^–1 ( [n]=c^-1).

Очевидна связь частоты и периода вращения:

.

Положив в соотношении (1.12) Dj=2p и Dt=T, получим для средней угловой скорости:

. .

При равнопеременном вращательном движении угол поворота j, угловая скорость w и угловое ускорение e связаны соотношениями, аналогичными соотношениям, полученным для поступательного движения. Интегрируя соотношения (1.13) и (1.15), приходим к основным уравнениям кинематикивращательного движения:

здесь w₀ – начальная угловая скорость.

Эти уравнения решают основную задачу кинематики для вращательного движения, если известны начальная угловая скорость w₀ и угловое ускорение e.

Приведем важное соотношение, определяющее число N оборотов, совершенных телом:

,

где положительный знак пишется при ускоренном вращении, знак минус – при замедленном.