Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

Пусть тело одновременно участвует в двух гармонических колебаниях одинаковой частоты, происходящих в одном направлении, причем амплитуды и начальные фазы колебаний различны (А1А2, φ01 ≠ φ02):

, .

Результирующее движение, равное сумме колебаний х1 и х2, будет гармоническим колебанием той же циклической частоты ω:

. (11.10)

Рис. 11.3.
Определим амплитуду и начальную фазу результирующего колебания методом векторных диаграмм. Для этого проведем из точки О векторы и под углами φ01 и φ02 к оси Ох и приведем их во вращение с угловой скоростью ω (рис. 11.3).

Оба вектора вращаются против часовой стрелки с одинаковой угловой скоростью ω, поэтому угол φ2φ1 между ними все время остается неизменным. Проекции векторов и на ось Ох совершают гармонические колебания. Результирующее колебание будет изображаться проекцией на ось Ох вектора , полученного из векторов и по

правилу параллелограмма. Из построения на рис. 11.3 следует, что (по теореме косинусов)

,

 

. (11.11)

 

Из треугольников ∆ОА1В и ∆ОАС для начальной фазы φ0 результирующего колебания следует выражение

 

. (11.12)

 

Рассмотрим частные случаи сложения колебаний.

 

1а. ,

 

то есть, если разность фаз складываемых колебаний равна четному числу π, то тогда колебания максимально усиливают друг друга.

 

1б. ,

 

то есть, если разность фаз складываемых колебаний равна нечетному числу π, то тогда колебания максимально ослабляют друг друга.

2. Биения –это колебания, которые возникают в результате сложения двух гармонических колебаний х1 и х2 одного направления с близкими частотами (ω2, ω1 >> ∆ω = ω2 – ω1):

 

.

 

Рассмотрим подробнее результаты сложения таких колебаний. Для простоты будем считать, что амплитуды складываемых колебаний одинаковы: А1 = А2 = А. Используя известную формулу сложения косинусов, получим:

и определим:

. (11.13)

Первый сомножитель в выражении (11.13) изменяется со временем значительно медленнее второго (∆ω << ω1, ω2), поэтому можно считать, что результирующее колебание представляет собой колебание с циклической частотой ω = (ω1 + ω2)/2 и с изменяющейся со временем амплитудой биений:

. (11.14)

Итак, биения можно представить как колебания с периодически изменяющейся амплитудой; эти колебания не являются гармоническими. При этом период изменения амплитуды (период биений ТБ) и циклическая частота биений Ω будут определяться по формулам:

. (11.15)

 

На рис. 11.4 приведены графики изменения амплитуды биения АБ и смещения х м. т. от времени. Метод биений применяют, например, для настройки музыкальных инструментов.

Рис. 11.4.

 









Дата добавления: 2015-08-08; просмотров: 1394;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.005 сек.