Теорема о циркуляции магнитного поля
Теперь займёмся вычислением циркуляции вектора магнитной индукции по замкнутому контуру. Начнём с простого контура. Пусть для начала контур совпадает с силовой линией магнитного поля прямолинейного тока (рис. 9.7.). По определению, циркуляция вектора по замкнутому контуру равна следующему интегралу:
.
Рис. 9.7.
Обратим внимание на то, что модуль вектора магнитной индукции в нашем случае одинаков во всех точках силовой линии и, следовательно, контура L:
. (9.15)
Согласно (9.8), . Поэтому циркуляцию вектора (9.15) можно записать так:
.
Вывод. В рассмотренном частном случае циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру пропорциональна току, охватываемому этим контуром.
Усложним задачу. Выберем теперь почти произвольный контур L в магнитном поле прямолинейного тока I. Контур по-прежнему охватывает ток и лежит в плоскости, перпендикулярной проводнику с током (рис. 9.8.). Циркуляция на участке контура равна:
Рис. 9.8.
Здесь = dj, поэтому циркуляцию по всему замкнутому контуру L можно записать так:
.
Мы вновь пришли к прежнему результату: циркуляция магнитного поля по замкнутому контуру пропорциональна току, охватываемому этим контуром.
Что произойдёт, если контур не охватывает ток (рис. 9.9.)?
Рис. 9.9.
Циркуляция на участке по-прежнему будет равна:
.
При обходе такого контура на участке 1-а-2 угол j будет расти от нуля, а на участке 2-b-1 — уменьшаться до нуля. Поэтому циркуляция в этом случае окажется равно нулю:
.
Сделаем ещё одно важное замечание. Циркуляция вектора — скалярная величина. Она может быть положительной и отрицательной.
Циркуляция положительна, когда направление обхода контура связано с направлением тока правилом буравчика (рис. 9.10.a). В противном случае циркуляция отрицательна (рис. 9.10.b).
Рис. 9.10.
Если магнитное поле создаётся не одним, а несколькими токами, то циркуляция такого поля по замкнутому контуру будет пропорциональна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром:
. (9.16)
Для случая, представленного на рис. 9.11.:
.
При выбранном направлении обхода контура (по часовой стрелке — на рис. 9.11.) знак тока определяется правилом буравчика. Токи I1 и I5 не вошли в сумму токов, так как они оказались вне замкнутого контура.
Рис. 9.11.
Подводя итог, сформулируем теорему о циркуляции магнитного поля: циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру пропорциональна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром.
Здесь заканчивается важный этап нашей работы: мы записали последнее уравнение системы уравнений Максвелла для электро- и магнитостатики. Вот эти уравнения:
, | (I) | , | (III) |
, | (II) | . | (IV) |
Система включает два уравнения потока (I и III) и два уравнения циркуляции (II и IV) для электростатических и магнитных полей.
Повторим физическое содержание этих уравнений:
I — | источником электростатического поля являются электрические заряды; |
II — | электростатическое поле потенциально; |
III — | в природе отсутствуют магнитные заряды; |
IV — | источником магнитного поля является электрический ток. |
23. Примеры расчёта магнитных полей
На ряде примеров покажем, как можно, используя теорему о циркуляции вектора магнитной индукции, рассчитать магнитные поля различных токов.
Дата добавления: 2015-08-08; просмотров: 1039;