Уравнение Шредингера. В 1926 году швейцарский физик Эрвин Шредингер записал в явном виде уравнение для волн волновой механики.

В 1926 году швейцарский физик Эрвин Шредингер записал в явном виде уравнение для волн волновой механики.

И сегодня до конца не ясно, как он нашел это уравнение.

Может быть, он рассуждал следующим образом.

Согласно гипотезе де-Бройля, каждой движущейся микрочастице должна быть сопоставлена волна.

Пусть свободной микрочастице, летящей вдоль оси x, соответствует плоская волна

(13.5)

Свяжем параметры волны с энергией и импульсом микрочастицы

Теперь уравнение (13.5) можно записать иначе:

(13.6)

Продифференцируем это выражение один раз по времени и дважды – по координате:

(13.7)

(13.8)

В случае свободного движения нерелятивистской частицы, ее энергия и импульс связаны простым соотношением:

Теперь, принимая во внимание это соотношение, легко связать уравнения (13.7) и (13.8)

(13.9)

Это и есть волновое уравнение Шредингера для одномерного движения свободной частицы.

В случае движения микрочастицы в силовом поле, потенциальная энергия U, полная энергия E и импульс частицы связаны таким соотношением

Объединяя в этом выражении уравнения (13.7) и (13.8), получим:

Или еще так

(13.10)

Это уравнение Шредингера для одномерного движения микрочастицы в силовом поле.

Для частицы, движущейся в произвольном направлении, запишем волновое уравнение в таком виде:

(13.11)

Это уравнение получило название нестационарное волновое уравнение Шредингера.

Здесь: оператор Лапласа.

Таким образом

При движении микрочастицы в стационарном (неизменном во времени) силовом поле, решение уравнения Шредингера может быть представлено произведением двух множителей, один из которых является функцией только координат, а другой – только времени

(13.12)

Используем это решение в дифференциальном уравнении (13.10)

(13.13)

Сократив на общий множитель , получим уравнение Шредингера для стационарных состояний:

. (13.14)

Это же уравнение можно представить еще и в таком виде:

.