Гипотеза о функции нормальногораспределения случайных ошибок

Пусть в некотором ряде измерений возможность промахов устранена, а систематические ошибки исследованы и полностью исключены. Тогда разность между результатом измерения Х_i и истинным значением измеряемой величины X₀ равна истинной случайной ошибке отдельного измерения

(21)

Центральная предельная теорема Ляпунова утверждает, если среди членов суммы нет таких, которые доминируют над всеми остальными, то сумма бесконечного числа случайных величин распределена нормально. Теория ошибок основана на гипотезе, что случайная ошибка удовлетворяет требованиям этой теоремы и поэтому распределена нормально. В силу равенства (21) результат отдельного измерения Х_i также будет нормально распределенной случайной величиной.

Нормированная нормальная функция распределения Гаусса для генеральной совокупности ¹⁾ результатов ²⁾ измерения Х имеет вид:

(22)

где е - основание натуральных логарифмов, М(Х) - матема-тическое ожидание случайной величины, равное ее истинному значению, т.е. М(Х) = Х_о, σ² - дисперсия случайной величины, σ - среднее квадратичное отклонение.

Учитывая, что , а математическое ожидание ошибки , можно записать распределение истинных погрешностей:

(23)

Распределения (22) и (23) имеют одинаковую дисперсию и отличаются лишь центрами распределения М(Х)=Х₀ и М(∆Х)=0. График

___________________________________________________________________________

Примечания: 1) Под генеральной совокупностью подразумевают все множество возможных значений измерений Х или возможных значений их погрешностей ∆Х.

2) Для упрощения расчетов в теории результаты измерения Х_i и их ошибки ∆x_io считают непрерывными случайными величинами Х и ∆X.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

функции плотности нормального распределения называется нормальной кривой распределения или кривой Гаусса.

На рис.3 приведены графики функции плотности нормального распределения ошибок, различающиеся дисперсиями, откуда видно:

1. Кривая имеет максимум в точке ∆Х=0. равный

, т.е. наивероятнейшим значением случайной ошибки является нуль.

2. Кривая Гаусса симметрично убывает в обе стороны от центра распределения, асимптотически приближаясь к оси абсцисс, т.е. ошибка одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто, причем при увеличении абсолютной погрешности вероятность ее появления уменьшается.

3. Две точки перегиба кривой соответствует среднеквадратичному отклонению ±σ. Величина σ определяет форму кривой. С увеличением σ (ухудшением качества измерений) кривая становится более пологой и растянутой вдоль оси абсцисс.

Дифференциальная функция нормального распределения довольно сложна, зависит от σ и неудобна для вычислений. Поэтому при расчетах используют нормированную функцию распределения, в которой случайная величина выражена в долях среднеквадратичного отклонения σ.

Действительно, если ввести новую переменную

(24)

то нормальные функции распределения случайных величия с разными М(Х) и D(X) примут стандартный вид:

(25)

у которого математическое ожидание равно нулю, а дисперсия равна единице.

По имеющимся таблицам значений функции (25), используя зависимость (24), можно найти плотность вероятности для любого значения X.