Лекция 29

РАСЧЕТ ПЛАСТИН МЕТОДОМ РИТЦА-ТИМОШЕНКО

При использовании прямых методов задача, сформулированная в дифференциальных уравнениях, сразу сводится к системе алгебраических уравнений.

Если задана функция у(х).

δ- бесконечно малая.

Т. Лагранжа- Лежен- Дирихле: устойчивому состоянию упругой системы соответствует минимуму ее полной потраченной энергии.

Полная потраченная энергия системы вычисляется по формуле:

Э=А-U (1)

Где А – работа внешней нагрузки, U- работа внутренних усилий.

! Перемещение совпадает с направление силы

U: сила совершает работу на перемещение, противоположное их направлению.

Для А и U имеются формулы для балок, пластинок и оболочек.

Для пластинок:

=>

Если q(x,y)=q(x)q(y) – разделения переменных

(2)

Где, В- искомая амплитуда прогиба, Х(х), Y(y)- аппроксимирование функции по каждому их направлению.

Если переменная разделяется функцией q и функцией W.

Для пластинок работы внутренних усилий равна:

Где .

Если W(x,y) можно принять в виде (2), то:

Вычитаем вариацию от полной потенциальной энергии:

С точности до бесконечно малых высшего порядка вариации функций равно первому дифференциалу:

- минимальная полная потенциальная энергия

В - может меняться, Х(х), Y(y)- фиксированные функции, соответствующие граничным условия и нагружению.

Вычисляя данную производную, можно записать:

В результате получается линейное алгебраическое уравнение:

Тогда: -

Предполагается, что задача будет решиться в безразмерном виде.

По методу Ритца-Тимошенко, основанного на т. Лагранжа- Лежен- Дирихле, необходимо задать функцию прогиба в виде:

Строим аппроксимированную функцию х(ζ): вырезаем полоску по направлению рассматриваемой оси ζ, рассматриваем ее как обыкновенную балку:

Аналогично строим аппроксимированную функцию у(η):

Данным граничным условиям должна удовлетворять функция

Подставляем выражение для Q_η

После этого выражение для прогиба определено с точностью до параметра В.

При решении задачи в безразмерном виде записывают следующее выражение для полной потенциальной энергии пластинки:

- отношение сторон пластинки

Построено статическим методом В.З. Власова. Тогда величины определенных интегралов:

Вычисляем величины определенных интегралов, входящий в вр.

В результате выражения для и принимают вид:

Далее зале записываются выражения:

- амплитуда прогиба пластинки

Тогда прогиб окончательно принимает вид:

Затем необходимо записать в безразмерном виде выражения для изгибаемых моментов и поперечных сил:

Выражения для поперечных сил:

Рассмотрим некоторые вопросы, связанные с очертанием эпюр в пластинках. По заданию на расчет пластинок строят необходимо следующее:

при ,

при

при

Необходимо сделать следующее:

Вводим:

WRITE (‘B=’); READLN (B);

1: WRITE (‘KCI=’); READLN (KCI);

WRITE (‘ETA=’); READLN (ETA);

W:=B*(KCI*KCI* KCI* KCI-1.5* KCI* KCI* KCI+0.5* KCI)* (ETA*….);

WRITELN(‘W=’,W); GOTO1;

Если прописать в W: M_ζ=…, M_η=…, Q_ζ=…, Q_η=…

ζ=0; 0.25; 0.5; 0.75; 1

η=…

В результате получаются эпюры характерного очертания: