Лекция 32

Теории пластичности

Диаграмма деформирования пластичного материала.

Для расчета стальных конструкций пластичную диаграмму заменяют условной диаграммой Прандтля.

- идеально упругое пластичное тело

В зависимости от рассматриваемого материала (реального) выбирается та или иная (из условия совпадения теоретического материала данного опыта).

Для многих материалов диаграмма деформирования является не линейной.

Поэтому возникает необходимость математическое описание зависимости .

Существуют апробированные формы:

, (1) –степенная зависимость с двумя коэффициентами а и k.

Коэффициенты подбираются из наилучших соответствий теоретической кривой и опытных результатов.

(2) – кубическая парабола

(Па)- касательный модуль

Вычисляем величину секущего и касательного модулей:

Используем два условия:

1)при - начальный модуль материала.

В начальном участке деформирования траектория совпадает с упругой траекторией.

Для подсчета второго коэффициента используем условие:

, , что соответствует точке графика

Тогда:

Па – величины констант получаются в [Па]

Тогда формула имеет вид:

Теорию пластичности можно построить лишь путем введения определенных гипотез.

Вспомним термины, относящиеся к напряженному деформированному состоянию тела:

- тензор напряжения (тензор второго ранга)

Среднее нормальное напряжение в данной точке:

Для деформированного состояния вводим аналогичные величины:

- тензор деформации (второго ранга)

Средняя линейная деформация в данной точке тела:

Теория малых упруго-пластических деформаций А.А. Ильюшина

Данная теорема базируется на трех законах:

1)Закон изменения объема тела.

Изменен6ие объема происходит по линейному закону в следующем виде:

k - объемный модуль данного материала.

2)Закон изменения формы:

Изменение формы определяется дивиаторами напряжения и деформации:

пропорциональная зависимость между дивиаторами.

Подобие между напряжениями и деформационными состояниями изменения формы

3)Закон о единой кривой деформирования :
для любого вида напряженного состояния тела (одномерного, двухмерного, трехмерного) существует единая зависимость , причем функция f совпадает стыковой зависимостью при простом испытании материала.

К простому испытанию относится испытание на растяжение, сжатие, изгиб.

Затем, после получения функции f она применяется для любых типов напряженного состояния тела.

Как правило, при использовании теоремы Ильюшина вводят дополнительные упрощающие напряжения.

Обычно предполагается , следовательно несжимаем материал (для стержней, пластинок, оболочек значительно легче вызвать изменение формы, чем оббьем)

Запишем:

, , ,

- коэффициент Пуассона для несжимаемого материала.

Тогда формула следует из второго закона:

-более простые формулы

Траектория и подобны и у них совпадает главные оси.

УРАВНЕНИЕ ИЗГИБА БАЛКИ ИЗ ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА

Рассмотрим балку из материал с нелинейной зависимостью

- кубическая парабола

По теореме Журавского:

Возникает задача записи выражения для изгибающего момента М(z). При этом используются формулы для:

- нормальное напряжение по продольному направлению вертикального деформирования

;

- волокна по высоте балки не давят друг на друга.

- деформирование по толщине балки

- поперечный габарит балки остается постоянным

Для несжимаемого материала

Тогда: - для упругой задачи.

Для балки при нелинейной зависимости будем иметь:

Выражение деформирования через прогиб балки:

(совпадает с изменением в упругой балке)

Тогда выражение для момента имеет вид:

Подставляем в данную формулу следующие величины:

Тогда изгибающий момент:

Рассмотрим балку прямоугольного поперечного сечения:

Подсчитаем величины:

-момент инерции поперечного сечения

-геометрическая характеристика высшего порядка

Тогда выражение для изгибающего момента имеет вид:

подставим в формулу Журавского:

Тогда:

(1)

Для упругой балки получаем:

Уравнение (1) соответствует уравнению равновесия элемента балки под действием распределенной нагрузки q с учетом нелинейной зависимости деформации.

Для конкретизации задачи необходимо задать

1)q(z)

2)граничные условия по концам балки: