Лекция 30

Расчет пластинок методом Бубнова-Галеркина.

Записываем дифференциальное уравнение изгиба элемента пластинки:

(1)

Для конкретной задачи записывается по два граничных условия в каждой точке.

Записываем дифференциальное уравнение в безразмерном виде: при этом расчет одной пластины соответствует бесконечному множеству реальных пластин.

Вводим безразмерные переменные и функции по следующим формулам:

,

- безразмерный параметр прогиба; - толщина (м).

,

Подставляя данные формулы в уравнение (1):

/:

Вводим параметр

(2)

- дифференциальное уравнение изгиба пластинки в безразмерном виде.

При этом пластинка примет вид:

В безразмерном виде формулы для внутренних силовых факторов примут вид:

- безразмерный изгибающий момент в направлении оси ζ.

Для оси η:

-

В уравнении (2) справа от знака “=”- внешние силы, а слева- внутренние.

Принцип Лагранжа: Сумма работ всех внешних и внутренних сил упругой системы на любом возможном и бесконечно малом перемещении равно 0.

Возможные перемещения должны быть совместимы с граничными условиями задач.

Применяем принцип Лагранжа к уравнению (2).

Возможное перемещение обозначим: .

В методе Бубнова-Галеркина прогиб в первом приближении решения записаться в виде:

А- амплитуда прогиба, максимальное из решения задач по методу Бубнова-Галеркина.

Вариации прогиба записываются в виде:

- бесконечно малое изменение амплитуды прогиба.

(3)

В результате подстановки можно записать:

- функция с разделяющимися переменными

- функция с разделяющимися переменными

Тогда получаем следующие выражения:

Т.к. функции и известны, то известны все величины определенных интегралов. После чего можно записать:

где и моменты инерции.

После нахождения амплитуды прогиба все величины в пластинке подсчитываются по следующим формулам:

Аналогичные формулы для этих параметров используются методом Рицце - Тимошенко.

Рассмотрим пример:

Получаем выражения для следующих производных функций

Подсчитаем интеграл:

Аналогично вычисляются интегралы I₁ и I₄.

в результате вычисления определенных интегралов получаются амплитуды прогибов А.

После этого необходимо посмотреть следующие эпюры:

Чтобы не ошибиться, можно использовать ПЭВМ;

Можно записать:

WRITE (‘x=’); READLN (x);

WRITE (‘y=’); READLN (y);

WRITE (‘A=’); READLN (A);

MKS:=-A*((12*x*x-9*x)*(y*y*y+y*…)+MU*…)

WRITELN(‘MKS=’,MKS);