Неоднородные системы линейных ур-й. Метод Гаусса

Дана система:

(1)

В системе (1) хотя бы одно из чисел . Обозначим - матрицу этой системы, - матрицу расширенную. Систему (1) можно переписать в векторном виде

(1), где , .

Наряду с системой (1) будем рассматривать однородную систему (2), кот.назовем соответствующей системе (1).

(2)

Неоднородная система может быть несовместной, т.е. не иметь решений.

Теорема (Кронекера-Капелли)

Неоднородная система (1) совместна тогда и только тогда, когда ранг ее основной матрицы=рангу расширенной ().

Пусть х – решение системы (1), а у – решение системы (2). Тогда -решение систем , т.о. - явл. решением системы (1)

Т.о. если к частному решению системы (1) прибавить какое-нибудь решение, соответствующей однородной системы (2), то снова получим решение системы (1).

Т.о. можно получить любое реш. сист. (1).

(3), где - общая неоднородная система; - общая однородная; - частная неоднородная

Поэтому для отыскания решения системы (1) необходимо найти какое-нибудь частное решение системы (1), найти все решения соотв. неоднородной системы и воспользоваться формулой (3).

Алгоритм решения неоднородных систем линейного ур-я:

1. Прямой ход методом Гаусса.Выписываем расширенную матрицу и элементарными преобразованиями 1 и 2 типов, приводим ее к ступенчатому виду. Если , то решение заканчивается, система несовместна ( легко вычислить, если в ступенчатой матрице мысленно отбросить последний столбец); если же , то для вновь полученной ступенчатой матрице выписываем соответствующую ей систему ур-й, (эквивалентную системе (1)), объявив при этом зависимыми элементами те переменные, кот соответствуют угловым коэффициентам ступенчатой матрицы. Оставшиеся переменные объявляем независимыми (свободными).

2. Обратный ход м-дом Гаусса.Выражают последовательно (снизу вверх) зависимые переменные через независимые, получаем систему (4), эквивалентную системе (1). Находим частное решение системы (4), придав независимым переменным какие-либо значения. Наряду с системой (4) рассмотрим систему (5), кот. получается из системы (4) отбрасыванием свободных членов, т.е. система (5) эквивалентна однородной системе (2). Находим общее решение этой системы

3.Общее решение неоднородной системы получаем по формуле (3).