Однородные системы линейных ур-й

Сист. (1) удобно перепис. в виде , где А-матрица столбца неизвестных

- столбец свобод. членов.

Система (1) наз. однородной, если вектор b-нулевой, в противном случае - неоднородной.

Система (1) наз. совместной, если она имеет хотя бы одно решение, т.е. переменным () можно придать такие значения, кот.будучи подставленными в (1) превращает ур-е в верное числовое равенство. Если система (1) решений не имеет, то ее наз. несовместной.

Очевидно, что однородная система всегда совместна.

Однородная система линейных ур-й

Очевидно, что если какое-либо ур-е системы заменить суммой этого ур-я и любого др. ур-я, умнож. на некот.число, то вновь полученная система будет => первоначальной. Мн-во решений таких систем совпадает. Так же очевидно, что если два ур-я системы переставить местами, так же получим эквивалентную систему. Это значит, что с матрицей системы можно производить элементарные преобразования 1 и 2 видов.

Пусть - решение однородной системы (2), покажем, что их линейная комбинация также будет решением этой системы ; .

Это означает, что мн-во всех решений однородной системы V явл. подпространством пространства |. Размерность этого подпространства = n-r, где r – ранг матрицы А.

Пусть .

Базис линейного пространства V {f₁, f₂,…f_k}наз. фундаментальной системой решения (ФСР) системы (2). Зная ФСР можно записать любое решение однородной системы (2).

Алгоритм решения однородной системы:

1. Выписываем матрицу системы.

2. Приводим матрицу к ступенчатому виду.

3. Переменные, соотв. угловым коэффициентам в ступенчатой матрице, назовем зависимыми, а оставшиеся – независимыми. Затем выразим зависимые переменные через независимые. Кол-во зависимых = r(рангу матрицы), кол-во независимых (свободных) = k.

4. Векторы ФСР можно получить так: одной из свободных переменных придаем 1, а остальным – 0, и вычисляем значение зависимых переменных. Получаем , придавая значение 1 другой переменной, получим другой вектор и т.д., пока не получим ФСР.

5. Общее решение системы f будет иметь вид , где α₁,α₂,…α_k - произвольные числа.