Комплексные числа

Комплексным числом zназ. выражение , где а и в – веществ. числа, i – мнимая единица

(i²=-1). Число а наз. веществ. частью комплексного числа z (), в – мнимая часть комплексного числа z ().

Комплексное число z с нулевой веществ. частью наз. чисто мнимым, с нулевой мнимой – чисто вещественным.

Два комплексных числа наз.равными,если у них совпадают и вещественная и мнимая части.

Два комплексных числа наз. сопряженными, если у них веществ. части совпадают, а мнимые отличаются знаками. , то сопряженное к нему .

Сумма сопряженных чисел есть число веществ, а разность чисто мнимое число. На множестве комплексных чисел естественным образом определены операции умножения и сложения чисел. Именно, если и - два комплексных числа, то сумма: ; произведение: .

Определим теперь операции вычитания и деления.

Заметим, что произведение двух комплексных чисел есть число веществ.

(т.к. i=-1). Это число наз. квадратом модуля числа . Т.о., если число , то его модуль есть веществ.число.

(деление на 0 запрещено)

В отличие от веществ. чисел для комплексных чисел не вводится понятие «больше», «меньше».

Геометрич. интерперетации комплексных чисел

Рассмотрим координатную плоскость OX, OY. Всякая точка М однозначно определяется парой чисел х-абцисса, у-ордината М(х,у). С другой стороны каждое комплексное число z тоже. определено парой чисел х – веществ. часть, у – мнимая z(x,y). Поэтому комплексные числа можно изображать точками на координатной плоскости. Условимся ось X наз.веществ. осью, а ось У – мнимой. Тогда на оси Х будут расположены все веществ. числа, а на У – все мнимые.

Изобразим на координатной плоскости:

z₁=1+i

z₂=1-i

z₃=2+3i

z₄=-5i

z₅=4

На комплексной плоскости комплексно-сопряженные числа отображаются точками, симметрично относительно оси. Поскольку каждая точка М плоскости однозначно определяет свой радиус-вектор, ОМ, где О – нач. координат, то всякое комплексное число может быть изображено вектором, концом кот. может служить точка, а началом координат– начало. Такая интерпретация более удобна предыдущей, т.к. позволяет интерпретировать не только сами числа, но и их суммы и разности.

Тригонометрическая запись комплексного числа

Пусть комплексное число z изображено на координатной плоскости радиус-вектора точки М. . Обозначим длину этого вектора, т.е. - это есть модуль комплексного числа |z|. - угол между веществ. осью и радиус вектором ОМ. Его наз. аргументом числа z, (аргумент определен с точностью до поворота , где ).

Имеем ;

(*)

(*) – тригономертич. запись комплексного числа z.

Пусть , .

При перемножении 2 комплексных числе их модули перемножаются, а аргументы складываются.

В частности, если , тогда .

Формула Муавра

Построим теперь показат. функцию комплексной переменной z, f(z)= . Поставим в соответствие каждому z число w.

.

(1)

Очевидно, что построенная функция обладает след. свойствами:

1) ;

2) ;

3) .

Первые два св-ва имели место и в веществ. случае, 3 св-во в веществ. случае нет.

Док-во 3-го св-ва: Пусть , тогда . Согласно формуле (1) .

Рассмотрим частный случай формулы (1), при х=0

(2)

В частности при получим формулу Эйлера:

Формула (2) позволяет комплексное число переписать в виде - показательная запись комплексного числа. Заменив в формуле (2) y на –у и воспользовавшись тем, что cos – четная, sin – нечетная получим: (3). Из формул (2) и (3) получим и (4).

Корнем n-й степени комплексного числа z наз. комплексное число w такое, что .

Пусть , . Тогда .

Два комплексных числа равны, когда их модули равны, а аргументы = с точностью до периода, т.е., , , , .

Т.о., (5)

Заметим, что всего имеется n-различных значений w, они соответствуют значениям параметра .

Множество всех точек плоскости, модуль кот.=1 есть окружность единичного радиуса с центром в начале координат.