Теорема Гаусса в интегральной форме

Эта теорема является важнейшей теоремой электростатики.

Формулировки:

1. Поток вектора напряженности электрического поля сквозь любую замкнутую поверхность равен заряду, находящемуся внутри этой поверхности, разделенному на диэлектрическую проницаемость среды.

2. Поток вектора электрического смещения сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов, расположенных в объеме, ограниченном этой поверхностью.

Вспомним стереометрию:

Телесный угол – это часть пространства, ограниченная некоторой конической поверхностью.

Стерадиан – телесный угол, вырезающий на сфере, описанной вокруг вершины угла поверхность, площадь которой равна квадрату радиуса сферы .

Докажем эту теорему Гаусса для случая, когда имеется один точечный заряд.

Для вывода теоремы рассмотрим замкнутую поверхность, внутри которой находится положительный точечный заряд.

Напряженность поля точечного заряда равна:

.

Поток вектора напряженности равен:

,

где – элементарный телесный угол под которым виден элемент поверхности dS, если вершина телесного угла совмещена с точкой, в которой находиться заряд q.

Телесный угол, под которым видна вся поверхность S, равен 4 стерадиан.

Заменим интеграл по поверхности определенным интегралом:

Теорема Гаусса в интегральной форме

На основе теоремы Гаусса в интегральной форме выводят формулы для расчета напряженности электростатического поля и потенциала в любой точке, для тел правильной формы: плоскость, шар, сфера, параллельные провода.