Сопряженные и симметричные линейные операторы в евклидовом пространстве.

1. Рассмотрим двумерное евклидово пространство , содержащее все векторы на декартовой плоскости со стандартным скалярным произведением . Пусть - оператор, зеркально отражающий векторы от оси . Доказать, что - ортогональный оператор.

2. В двумерном евклидовом пространстве со скалярным произведением в базисе задан линейный оператор , имеющий в базисе матрицу . Требуется выяснить, является ли оператор ортогональным оператором.

3. В рамках условий задания 2 найти матрицу в базисе оператора , сопряженного оператору . Проверить также, что матрица оператора , сопряженного оператору , совпадает с матрицей оператора .

4. Найти собственный ортонормированный базис симметричного оператора , действующего в двумерном евклидовом пространстве, если в ортонормированном базисе оператор имеет матрицу .

5. Найти собственный ортонормированный базис симметричного оператора , действующего в трехмерном евклидовом пространстве, если в ортонормированном базисе оператор имеет матрицу .

___________________________________________________________________