Якщо B - -алгебра борелевих множин метричного простору , то B §1.4. Функції, визначені на класах множин. Поняття міри.

Нехай - довільна непорожня множина і - довільний непорожній клас підмножин множини , . Позначимо . Будемо розглядати тут функції виду .

Означення 1. Функція , що визначена на класі множин називається на :

1) невід'ємною, якщо ;

2) скінченно-аддитивною, якщо

;

3) зчисленно-аддитивною або -аддитивною, якщо

(причому сума ряду може дорівнювати і );

4) скінченою, якщо ;

5) неспадною, якщо ;

6) -скінченною, якщо .

Очевидно, якщо і -скінченно-аддитивна функція на і , то 0.

Це випливає зі співвідношень .

Окрім того, як можна показати, якщо функція зчисленно-аддитивна на , то вона і скінченно-аддитивна на ,але не кожна скінченно-аддитивна функція є -аддитивна на .

Означення 2. Функція , називається мірою, якщо -півкільце множин і функція невід’ємна та -аддитивна на .

Зазначимо, що 0 для міри такої, що . Скрізь нижче розглядатиметься лише така міра на півкільці , для якої остання умова виконується.

Функція , що визначена на півкільці , , називається скінченно-аддитивною мірою, якщо вона невід’ємна і скінченно-аддитивна на .

Зрозуміло, що міра є скінченно-аддитивна міра, але не кожна скінченно-аддитивна міра є міра.

Ми будемо розглядати тут в основному міру, хоча деякі твердження, які будуть встановлені, справедливі і для скінченно-аддитивної міри.

Означення 3. Міра на півкільці називається -скінченною (скінченною), якщо функція є -скінченна (скінченна) на .

Приклад 1. Якщо - фіксована точка непорожньої множини , , , то функція така, що , коли , і , коли , для кожної множини , є міра на -алгебрі (на кільці) , причому вона скінченна.

Приклад 2. Якщо - півкільце всіх найможливіших обмежених півінтервалів в разом з порожньою множиною, , то функція така, що , і , є міра на , причому вона скінченна та -скінченна.

Приклад 3. Якщо - півкільце усіх найможливіших піввідкритих прямокутників із разом з порожньою множиною, , то функція така, що , , і , є скінченна та -скінченна міра на .

Основні властивості міри на півкільці , описуються наступними твердженнями:

а) (монотонність міри);

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

На основі останньої властивості доводиться, що міра на півкільці є зчисленно-піваддитивна ( -піваддитивна) функція, тобто

.

Зрозуміло, що останнє твердження, а також властивості г), д), справедливі і для довільних скінчених сукупностей множин та із півкільця .