ОГРАНИЧЕННЫЕ И НЕОГРАНИЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА

В этом параграфе будем рассматривать только числовые множества и кратко будем называть их «множества».

Определение 5.1.Множество Х называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое число M (m), что ( ). Число M (m), называется верхней (нижней) границей множества Х.

Пример 5.1.Найти верхнюю и нижнюю границы множеств:

Определение 5.2.Множество Х называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу, т.е. существуют такие числа M и m , что . В противном случае оно называется неограниченным.

Это определение равносильно следующему

Определение 5.3.Множество Х называется ограниченным, если существует такое число M >0, что . Множество Х называется неограниченным, если для любого числа M >0 существует такое число , что .

Определение 5.4.Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) границ ограниченного сверху (снизу) множества Х называется верхней (нижней) гранью множества Х и обозначается sup X (inf X), читается supremum (infimum).