Занятие №45. Операции над множествами. Основные тождества алгебры множеств

№1. Докажите тождество

Примечание: чтобы доказать это тождество, нужно показать, что каждый элемент первого множества принадлежит второму и наоборот, т.е. эти множества совпадают.

Пусть т.е. или Если то Если но то следовательно,

Пусть т.е. или Если то Если но

, то

Таким образом, тождество доказано.

№2. Установите взаимно однозначное соответствие между всеми прямыми на плоскости и всеми точками координатной оси

Примечание: зададим прямую двумя числами – точкой пересечения с осью

любое действительное число, в том числе может быть отрицательное, тогда вначале минус и углом наклона угол между прямой и положительным направлением оси изменяется от до где положительное действительное число из интервала

Сопоставим этим двум числам точку на оси по следующему правилу:

здесь знак числа совпадает со знаком числа Видно, что по числу можно однозначно восстановить числа

Таким образом, мы установили однозначное соответствие между всеми прямыми на плоскости и всеми точками координатной оси

№3. Проверить, является ли отношением эквивалентности на множестве всех прямых на плоскости отношение «непересекающихся прямых».

Примечание: введем множество множество всех прямых на плоскости и отношение

Это отношение будет отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Проверим наличие этих свойств.

рефлексивно, так как для любой прямой справедливо (считаем, что прямая параллельна самой себе).

симметрично, так как для любых прямых выполняется (так как если параллельна то и параллельна ).

транзитивно, так как для любых прямых выполняется так как две прямые и , параллельные третьей , параллельны.

Таким образом, отношение эквивалентности.

№4. Определите свойства следующих отношений:

1) «прямая прямую » на множестве прямых

2) «число больше числа на 2» на множестве натуральных чисел

3) «число делится на число без остатка» на множестве натуральных чисел

Примечание: 1. «прямая пересекает прямую » на множестве прямых. Это отношение рефлексивно, так как «прямая пересекает прямую » выполняется для любой прямой (она пересекает себя в каждой точке); симметрическое, так как из того, что «прямая пересекает прямую » следует, что «прямая пересекает прямую » для любых прямых

Также можно заметить, что это отношение не является тождественным, транзитивным и полным.

1. «число больше числа на 2» на множестве натуральных чисел. Это отношение антирефлексивное, так как ни для одного элемента из множества натуральных чисел не выполняется «число больше числа на 2»; антисимметрическое, так как для любых элементов из множества натуральных чисел из того, что «число больше числа на 2» следует невыполнение того, что « число больше числа на 2».

Также можно заметить, что это отношение не является тождественным, транзитивным и полным.

2. «число делится на число без остатка» на множестве натуральных чисел. Это отношение рефлексивно, так как для любого элемента из множества натуральных чисел выполняется «число делится на число без остатка» и «число делится на число без остатка», следует, что ; транзитивное, так как для любых элементов из множества натуральных чисел из того, что «число делится на число без остатка».

Также можно заметить, что это отношение не является симметрическим, антисимметрическим и полным. Это отношение является отношением порядка.