Нормальні коливання кристалічної гратки. Спектр цих коливань. Поняття про фонони. Фононна модель твердих тіл

За рахунок теплової енергії атоми кристалу здійснюють коливання навколо свого положення рівноваги. Причому за рахунок сил зв’язку між атомами коливання передаються від одного атома до іншого. Таким чином цей колективний рух атомів охоплює увесь кристал у вигляді пружних коливань різних частот і довжин хвиль. Знайдемо частоти і довжини хвиль цих нормальних коливань.

Розглянемо одномірний ланцюг довжиною L із N атомів, відстань між якими а. Вияснимо, які довжини хвиль можуть в ньому виникати. Як видно з рис.3.2 можливий цілий набір довжин хвиль від 2L до 2L/N, причому існує мінімальне значення λ_min = 2L/N = 2а. Цій мінімальній довжині хвилі відповідає максимальна циклічна частота коливань, яка названа частотою Дебая,

. (3.4)

У формулу (3.4) входять характерні для кожної речовини величини: а -міжатомна відстань і υ- швидкість поширення пружних коливань, тобто швидкість звуку. Тому для кожної речовини частота Дебая різна і являється її характерним параметром. Наприклад, для міді а=3,6×10^-10м, υ = 3550 м/с, ω_D = 3×10¹³ Гц.

Для більш наглядної оцінки частоти Дебая вводиться характеристична температура Дебая θ_D, при якій теплова енергія k×θ_D дорівнює енергії коливань ћ×ω_D, тобто

, (3.5)

де - стала Планка.

Виходячи із означення, слід відмітити, що температура Дебая це така температура, вище якої в кристалі збуджуються всі можливі частоти коливань. При менших температурах теплового збудження зазнають низькочастотні коливання, а високочастотні ні. По мірі зростання температури частотна межа збуджених і не збуджених коливань зростає, наближаючись до свого граничного значення – частоти Дебая. Таким чином температура Дебая поділяє температурну шкалу на область низьких (Т<θ_D) і високих (Т>θ_D) температур, в яких властивості речовин суттєво різні. В табл.3.1 приведені значення температури Дебая для деяких речовин.

Таблиця.3.1

При певній температурі в кристалі збуджуються коливання з різними частотами і енергіями. Порція (квант) енергії ћω, на яку змінюється енергія нормальних коливань кристалічної гратки називається фононом. Ці квазічастинки введені для спрощення фізичної моделі твердого тіла. По фононній моделі тверде тіло розглядається як посудина, обмежена поверхнею кристалу, що заповнена фононним газом, який має властивості бозонів. Спін фононів дорівнює нулю. Це дає можливість застосувати до твердого тіла математичний апарат фізичної статистики з використанням функції розподілу Бозе-Ейнштейна

. (3.6)

Густина квантових станів для фононів, як функція циклічної частоти, має вигляд

. (3.7)