Дебаєвська теорія теплоємності твердих тіл

Квантова теорія теплоємності твердих тіл була розроблена у 1912 році німецьким фізиком Дебаєм в рамках фононної моделі твердого тіла. Термодинамічна енергія кристалу складається із енергії нормальних коливань. Знайдемо коливальну енергію Е_гр кристалічної гратки як енергію усіх фононів із врахуванням розподілу по частотам (енергіям), аналогічно, як це робилося в розділі 2.5 (див. чисельник формули (2.14))

. (3.8)

Підставимо в (3.8) вирази (3.6) і (3.7), а також замінимо верхню межу інтегрування з ∞ на ω_D, тому що більшої частоти коливань у кристалі не виникає. Одержимо

. (3.9)

Для взяття інтегралу виконаємо такі заміни:

Після підстановок і спрощень, враховуючи, що , одержуємо

. (3.10)

Інтеграл (3.10) і молярну теплоємність знайдемо для двох температурних інтервалів, врахувавши, що N=N_A, а .

Область високих температур Т>>θ_D. Для таких температур ћω<<kT, тобто x<<1, внаслідок чого в степеневому ряді можна обмежитись першими двома членами, так як наступні набагато менші від них. Тоді енергія гратки

, (3.11)

а молярна теплоємність

. (3.12)

Таким чином, в області високих температур теорія Дебая дає відомий закон Дюлонга і Пті.

Область низьких температур Т<<θ_D. Для таких температур верхню межу інтеграла (3.10) можна замінити нескінченністю. Враховуючи, що є табличним, одержуємо

і

. (3.13)

В області низьких температур молярна теплоємність пропорційна кубу абсолютної температури (3.13). Це закон Дебая (див. рис.3.1), який добре узгоджується з експериментом .