Методи виводу розмірів земного еліпсоїда за градусними вимірюваннями

Класичне градусне вимірювання полягало у вимірюванні методом тріангуляції лінійної відстані між деякими пунктами, розташованими, по можливості, вздовж земного меридіана або паралелі, та астрономічних визначень на цих пунктах.

Із опрацювання тріангуляції визначались відстані між паралелями або меридіанами пунктів градусного вимірювання, тобто відрізки дуг меридіана або паралелі, як деякі окремі дуги, які при геодезичному зв’язку між собою складали загальну дугу градусного вимірювання по меридіану або по паралелі. Тому і метод виводу розмірів земного еліпсоїда за градусними вимірюваннями називався методом дуг [7].

Кожне окреме градусне вимірювання опрацьовувалося наступним чином. Один з пунктів цього градусного вимірювання приймався за початковий або вихідний пункт. Астрономічні координати цього пункту і , так приймалося, дорівнювали геодезичним координатам і . На поверхні прийнятого еліпсоїда з наближеними параметрами і при вказаному його орієнтуванні в тілі Землі ( , , ) обчислювались геодезичні координати всіх решта пунктів градусного вимірювання з астрономічними широтами і довготами , використовуючи при цьому відстані між цими пунктами, які були віднесені тільки на поверхню геоїда, та передачі астрономічного азимута через виміряні горизонтальні напрями. Після чого визначалися розміри земного еліпсоїда і на основі рівнянь градусних вимірювань.

Рівняння градусного вимірювання дуги меридіана, яка складається із окремих дуг, має наступний вигляд

(5.55)

А рівняння градусного вимірювання дуги паралелі під широтою представлялося у такому вигляді

(5.56)

В цих рівняннях:

- складові відхилення прямовисних ліній в меридіані та першому вертикалі відповідно, верхнім індексом позначені ті величини, що відносяться до еліпсоїда з параметрами і . Вільні члени в рівняннях (5.55) - та (5.56) - є різницями виміряних астрономічних і геодезичних координат. Фактично це є значення відхилень прямовисної лінії в площинах меридіана і першого вертикалу, отримані із спостережень. Ліві частини цих рівнянь є відхиленнями прямовисної лінії у вказаних площинах від нормалі до поверхні еліпсоїда, параметри якого ми шукаємо.

Коефіцієнти при невідомих і є відомими функціями геодезичних координат вихідного пункту і того даного пункту, для якого рівняння градусних вимірювань повинні бути складені. Залишається від складених рівнянь перейти, згідно правил способу найменших квадратів, до двох нормальних рівнянь для знаходження невідомих.

З початком ХХ ст. склад градусних вимірювань змінився. Побудова суцільних геодезичних мереж у межах значних територій привела до того, що градусні вимірювання набули площадного характеру. Градусні вимірювання вже не були вимірюваннями окремих або ізольованих дуг меридіанів і паралелей, а репрезентували великі астрономо-геодезичні мережі. В зв’язку з цим змінилися і методи виводу розмірів земного еліпсоїда із градусних вимірювань. Почав застосовуватися так званий метод площ, який став подальшим розвитком та узагальненням методу дуг [7].

Рівняння методу площ подібні до (5.55) і (5.56) і є, за своєю суттю, рівняннями відхилення прямовисної лінії в площині меридіана за визначенням широти, відхилення прямовисної лінії в площині першого вертикалу за визначенням довготи і відхилення прямовисної лінії в площині першого вертикалу за визначенням азимута в даному пункті відповідно [7]. Склавши рівняння для всіх астрономічних пунктів даної геодезичної мережі та використовуючи чисто астрономо-геодезичні дані, розв’язують їх далі за способом найменших квадратів, тобто під умовою

. (5.57)

Визначенню підлягають: поправки до параметрів прийнятого еліпсоїда та складові відхилення прямовисних ліній у вихідному пункті .

Очевидним є те, що при такому підході відхилення прямовисних ліній мають носити випадковий характер, а, відповідно, і відступи геоїда від нового еліпсоїда теж будуть розглядатися як випадкові. Не підлягає дискусії і те, розміри якого еліпсоїда при цьому визначаються, звичайно, референц-еліпсоїда.

Зважаючи на очевидний прогрес у цьому питанні з появою методу площ, потрібно відзначити, що суттєвого покращення точності виводу параметрів земного еліпсоїда без широкого використання гравіметричних даних не відбулося.