СТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

Рассмотрим практически важный случай, когда микрочастица движется в стационарном силовом поле (например, электрон в атоме), т.е. функция W_p=W_p(x,y,z) является потенциальной энергией частицы. Решение уравнения (2.25) можно представить в виде произведения:

, (2.26)

в котором разделены переменные.

Функцияψ (x, y, z), зависящая только от координат, называется амплитудой волновой функции, она удовлетворяет тем же свойствам, что и функция y (x, y, z ,t). Подстановка (2.26) в (2.24) с последующим делением на ψ ×j дает

. (2.27)

Левая часть этого уравнения зависит только от времени, а правая – только от координат, поэтому равенство возможно лишь при условии, что обе части уравнения (2.27) равны одной и той же для данной W_p величине. Обозначим ее W и перепишем (2.27) в виде двух уравнений

, (2.28)

. (2.29)

Величина W имеет размерность энергии и смысл полной энергии микрочастицы.

Уравнение (2.28) легко интегрируется. Его решение зависит от конкретного значения параметра W :

. (2.30)

Уравнение (2.29) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний или амплитудным уравнением Шредингера. Для его решения необходимо знать конкретный вид функции W_Р(x, y, z) .

Подобные уравнения имеют бесчисленное множество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл.

Обозначим решение уравнения (2.29) y_n (x, y, z) для случая, когда W=W_n . Волновая функция y (x,y,z,t) (2.26), таким образом, равна

. (2.31)

Она обладает тем важным свойством, что описываемое ею распределение плотности вероятности

не зависит от времени. Это означает, что распределение вероятности в пространстве стационарно. Состояния микрочастицы, удовлетворяющие этому условию, называются стационарными состояниями – состояниями с фиксированными значениями энергии. Такие состояния характерны для частиц в атомах, молекулах, твердых телах. В дальнейшем мы будем рассматривать только стационарные состояния квантовых систем, то есть пользоваться лишь амплитудным уравнением Шредингера (2.29).

Те значения полной энергии W=W_n, при которых уравнение Шредингера имеет решения, удовлетворяющие ограничительным условиям, называются собственными значениями энергии. Совокупность всех W_n для данной квантовой системы называется спектром собственных значений энергии. Этот спектр может быть сплошным, дискретным, зонным.

Решения уравнения Шредингера ψ_n, которые соответствуют собственным значениям энергии W_n, называются собственными волновыми функциями.

Возможны случаи, когда при одном и том же собственном значении энергии, например W_j , уравнение (2.29) имеет не одно, а несколько решений ψ _j^(N).

Тогда говорят, что данное состояние N - кратно вырождено.

Таким образом, для стационарного силового поля решение уравнения Шредингера сводится к отысканию всех значений W_j и всех собственных волновых функций ψ _j микрообъекта.