Подставляя (2.4.3) в (2.4.2) и учитывая (2.4.4), получим

П=wV.(2.4.5)

Учтем, что энергия волны переносится в направление скорости ее распространения, тогда (2.4.5) можно записать в векторном виде.

. (2.4.6)

Выражение для вектора , впервые было получено русским ученым Н.А.Умовымдля упругих волн. Поэтому вектор называется вектором Умова.

Найдем выражение для вектора плотности потока энергии, переносимой электромагнитной волной. Объемная плотность энергии в электромагнитной волне состоит из двух вкладов - от электрического и магнитного полей:

. (2.4.7)

Векторы и в электромагнитной волне изменяются в фазе (§ 2.3), поэтому выражение (2.4.7) справедливо не только для амплитудных значений [формула (2.3.43)], но и для мгновенных, причем

. (2.4.8)

Из (2.4.8) и (2.4.7) следует, что объемная плотность энергии электрического и магнитных полей в электромагнитной волне в каждый момент времени одинакова, то есть , поэтому справедливо:

. (2.4.9)

Электромагнитная волна распространяется в среде со скоростью

.

Подставим в формулу (2.4.5) выражения для w и V, тогда получим

П=Е Н. (2.4.10)

С учетом взаимной ориентации векторов и (рис.2.3.3), вектор плотности потока энергии можно записать в виде

. (2.4.11)

Выражение (2.4.11) было получено Пойнтингом, поэтому вектор называется вектором Умова-Пойнтинга.

В электромагнитной волне векторы и изменяются со временем с частотой n. Например, в видимом глазом диапазоне электромагнитных волн частота изменений векторов и заключена в интервале

n = (0.75¸0.4)10¹⁵ Гц.

За столь частыми изменениями энергии не сможет уследить ни один приемник, вследствие чего будет регистрироваться усредненное по времени значение модуля вектора плотности потока энергии, которое называется интенсивностью волны:

J = < >^.(2.4.12)

Получим выражения для интенсивности плоской и сферической электромагнитной волны.

Уравнения плоской и сферической электромагнитных волн, распространяющихся в произвольном направлении, имеют вид (2.2.14, 2.2.19, 2.2.20):

(2.4.13)

(2.4.14)

Подставляя модули векторов и из (2.4.13) в формулу (2.4.10) и учитывая соотношение (2.3.44), находим плотность потока энергии переносимой плоской волной

(2.4.15)

Подстановка и из (2.4.14) в (2.4.10) дает для плотности потока энергии в сферической волне выражение

(2.4.16)

Для нахождения интенсивности волн (2.4.13) и (2.4.14) необходимо найти средние за период значения от выражений (2.4.15) и (2.4.16). Учтем, что

тогда для интенсивностей волн получим

(2.4.17)

(2.4.18)

Зависимость амплитуды сферической волны от r в уравнениях (2.2.14), (2.4.14) связана с тем, что если среда не поглощает энергию волны, то средний поток энергии, проходящий через сферу любого радиуса, должен быть одинаков. Действительно, из (2.4.2) находим поток энергии через площадку D , расположенную перпендикулярно к направлению распространения волны:

DФ=ПD . (2.4.19)

Для нахождения потока энергии через замкнутую поверхность S необходимо вычислить интеграл

(2.4.20)

где П_n - нормальная составляющая вектора на произвольном элементе dS замкнутой поверхности (рис. 2.4.2).

Усредненный по времени поток энергии переносимой сферической волной через сферу произвольного радиуса найдем согласно (2.4.20) по формуле

(2.4.21)

Направления распространения сферической волны и нормали к любому элементу сферической поверхности совпадают, поэтому

Воспользовавшись выражением (2.4.17) для J_сфер из (2.4.21) получим