Где Δx – ширина щели, а λ – длина волны де Бройля. Из формул (2) и (3) получим

ΔxΔp_x = h,

учитывая, что для некоторой, хотя и незначительной, части электронов попадающих за пределы главного максимума, величина Δp_x ≥ р sinφ. Следовательно, получаем выражение

ΔxΔp_x ≥ h,

т.е. соотношение неопределенностей (1).

Так как в классической механике принимается, что измерение координаты и импульса может быть произведено с любой точностью, то соотношение неопределенностей является квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.

Известно, что движение по траектории характеризуется в любой момент времени определенными значениями координат и скорости. Выразим соотношение неопределенностей (215.1) в виде

Δx Δυ_x ≥ h / m. (4)

Из этого выражения следует, что чем больше масса частицы, тем меньше неопределенности ее координаты и скорости и, следовательно, с тем большей точностью можно применять к этой частице понятие траектории. Так, например, уже для пылинки массой 10^-12 кг и линейными размерами 10^-6 м, координата которой определена с точностью до 0,01 ее размеров (Δx = 10^-8 м), неопределенность скорости, по (4),

Δυ_x = 6,62·10^-34 /(10^-8·10^-12)м/с = 6,62·10^-14 м/с,

т. е. не будет сказываться при всех скоростях, с которыми пылинка может двигаться. Таким образом, для макроскопических тел их волновые свойства не играют никакой роли; координата и скорость макротел могут быть одновременно измерены достаточно точно. Это же означает, что для описания движения макротел с абсолютной достоверностью можно пользоваться законами классической механики.

Применим соотношение неопределенностей к электрону, движущемуся в атоме водорода. Допустим, что неопределенность координаты электрона Δx ≈ 10^-10 м (порядка размеров самого атома, т. е. можно считать, что электрон принадлежит данному атому). Тогда, согласно (4), Δυ_x=6,62·10^-34 /(9,11·10^-31·10^-10) = 7,27·10⁶ м/с. Используя законы классической физики, можно показать, что при движении электрона вокруг ядра по круговой орбите радиуса ≈ 0,5·10^-10 м его скорость ≈ 2,3·10⁶ м/с. Таким образом, неопределенность скорости в несколько раз больше самой скорости. Очевидно, что в данном случае нельзя говорить о движении электрона в атоме по определенной траектории, иными словами, для описания движения электрона в атоме нельзя пользоваться законами классической физики.

В квантовой теории рассматривается также соотношение неопределенностей для энергии Е и времени t,т. е. неопределенности этих величин удовлетворяют условию

ΔEΔt ≥ h. (215.5)

Подчеркнем, что ΔЕ — неопределенность энергии системы в момент ее измерения, Δt – неопределенность длительности процесса измерения. Следовательно, система, имеющая среднее время жизни Δt, не может быть охарактеризована определенным значением энергии; разброс энергии ΔЕ = h /Δt возрастает с уменьшением среднего времени жизни. Из выражения (215.5) следует, что частота излученного фотона также должна иметь неопределенность Δν = ΔЕ/h, т.е. линии спектра должны характеризоваться частотой, равной ν ± ΔЕ/h,. Опыт действительно показывает, что все спектральные линии размыты; измеряя ширину спектральной линии, можно оценить порядок времени существования атома в возбужденном состоянии.