Уравнение Шрёдингера – основное уравнение нерелятивистской квантовой механики. Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний

Статистическое толкование волн де Бройля и соотношение неопределенностей Гейзенберга привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бы вытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции Ψ(х, у, z, t), так как именно она, или, точнее, величина |Ψ|², определяет вероятность пребывания частицы в момент времени t в объеме ΔV, т. е. в области с координатами х и х + dх, у и у + dу, z и z + dz.

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926 г. Э. Шредингером. Уравнение Шрёдингера, как и все основные уравнения физики (например, уравнения Ньютона в классической механике и уравнения Максвелла для электромагнитного поля), не выводится, а постулируется. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы. Общее уравнение Шредингера имеет вид

, (1)

где ħ = h / (2π), m – масса частицы, Δ – оператор Лапласа , i – мнимая единица, U(x, y, z, t) – потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, Ψ(x, y, z, t) – искомая волновая функция частицы.

Уравнение (1) справедливо для любой частицы (со спином, равным 0), движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоростью, т. е. со скоростью υ«с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию:

1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной;

2) производные должны быть непрерывны;

3) функция |Ψ|² должна быть интегрируема (это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей ).

Уравнение (1) называют уравнением Шредингера, зависящим от времени.

Дли многих физических явлений, происходящих в микромире, уравнение (1) можно упростить, исключив зависимость Ψ от времени, т.е. найти уравнение Шредингера для стационарных состояний – состояний с фиксированными значениями энергии. Это возможно, если силовое поле, в котором частица движется, стационарно, т. е. функция U = U (х, у, z)не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В данном случае решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде

. (2)

Уравнение (2) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний.

В это уравнение в качестве параметра входит полная энергия Е частицы. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что подобные уравнения имеют бесчисленное множество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл. Для уравнения Шредингера такими условиями являются условия регулярности волновых функций: вол новые функции должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными. Таким образом, реальный физический смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциями Ψ. Но регулярные решения имеют место не при любых значениях параметра Е, а лишь при определенном их наборе, характерном для данной задачи. Эти значения энергии называются собственными.Решения, которые соответствуют собственнымзначениям энергии, называются собственными функциями.Собственные значения Е могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном, или сплошном, спектре,во втором – о дискретном спектре.

§ 3.1.6. Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме»

с бесконечно высокими «стенками»

Проведем качественный анализ решений уравнения Шредингера применительно к частице в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками». Такая «яма» описывается потенциальной энергией вида (для простоты принимаем, что частица движется вдоль оси х)

где l — ширина «ямы», а энергия отсчитывается от ее дна (рис. 2).

Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде

. (1)

Рис. 2

По условию задачи (бесконечно высокие «стенки»), частица не проникает за пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнаружения (а следовательно, и волновая функция) за пределами «ямы» равна нулю. На границах «ямы» (при х=0 и х = 1) непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль. Следовательно, граничные условия в данном случае имеют вид

Ψ (0) = Ψ (l) = 0. (2)

В пределах «ямы» (0 ≤ х ≤ 0) уравнение Шредингера (1) сведется к уравнению

или . (3)

где k ² = 2mE / ħ². (4)

Общее решение дифференциального уравнения (3):

Ψ (x) = A sin kx + B cos kx.

Так как по (2) Ψ (0) = 0, то В = 0. Тогда

Ψ (x) = A sin kx. (5)

Условие Ψ (l) = A sin kl = 0 (2) выполняется только при kl = nπ, где n – целые числа, т.е. необходимо, чтобы

k = nπ / l. (6)

Из выражений (4) и (6) следует, что

(n = 1, 2, 3,…), (7)

т. е. стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях Е_п, зависящих от целого числа п. Следовательно, энергия Е_п частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» принимает лишь определенные дискретные значения, т. е. квантуется.

Квантованные значения энергии Е_п называются уровнями энергии,а число п, определяющее энергетические уровни частицы, называется главным квантовым числом.Таким образом, микрочастица в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» может находиться только на определенном энергетическом уровне Е_п, или, как говорят, частица находится в квантовом состоянии п.

Подставив в (5) значение k из (6), найдем собственные функции:

.

Постоянную интегрирования А найдем из условия нормировки, которое для данного случая запишется в виде

.

В результате интегрирования получим , а собственные функции будут иметь вид

(n = 1, 2, 3,…). (8)

Графики собственных функций (8), соответствующие уровням энергии (7) при n = 1,2,3, приведены на рис. 3, а. На рис. 3, б изображена плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от «стенок» ямы, равная ‌‌‌‌‌‌ Ψ_n(x)‌ ² = Ψ_n(x)·Ψ_n^*(x) для п=1, 2 и 3. Из рисунка следует, что, например, в квантовом состоянии с п= 2 частица не может находиться в середине «ямы», в то время как одинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на то, что представления о траекториях частицы в квантовой механике несостоятельны.

Из выражения (7) вытекает, что энергетический интервал между двумя соседними уровнями равен

. (9)

Например, для электрона при размерах ямы l = 10 ^–1 м (свободные электроны в металле), ΔЕ_n ≈ 10^-35·n Дж ≈ 10 ^–16 n эВ, т.е. энергетические уровни расположены столь тесно, что спектр практически можно считать непрерывным. Если же размеры ямы соизмеримы с атомными (l ≈ 10 ^-10 м), то для электрона ΔЕ_n ≈ 10 ^–17n Дж ≈ 10²n эВ, т.е. получаются явно дискретные значения энергии (линейчатый спектр).

Рис. 3

Таким образом, применение уравнения Шредингера к частице в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» приводит к квантованным значениям энергии, в то время как классическая механика на энергию этой частицы никаких ограничений не накладывает.

Кроме того, квантово-механическое рассмотрение данной задачи приводит к выводу, что частица «в потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» не может иметь энергию меньшую, чем минимальная энергия, равная π² ħ² /(2т1²). Наличие отличной от нуля минимальной энергии не случайно и вытекает из соотношения неопределенностей. Неопределенность координаты Δх частицы в «яме» шириной l равна Δх = l. Тогда, согласно соотношению неопределенностей, импульс не может иметь точное, в данном случае нулевое, значение. Неопределенность импульса Δр ≈ h / l. Такому разбросу значений импульса соответствует кинетическая энергия Е_min ≈ (Δp)²/(2m) = ħ² / (2ml²). Все остальные уровни (п > 1) имеют энергию, превышающую это минимальное значение.

Из формул (9) и (7) следует, что при больших квантовых числах (n»1) ΔЕ_n / E_п ≈ 2/п «1, т. е. соседние уровни расположены тесно: тем теснее, чем больше п. Если п очень велико, то можно говорить о практически непрерывной последовательности уровней и характерная особенность квантовых процессов — дискретность – сглаживается. Этот результат является частным случаем принципа соответствия Бора(1923), согласно которому законы квантовой механики должны при больших значениях квантовых чисел переходить в законы классической физики.