Уравнение (2.3.1) называется волновым уравнением.

Непосредственной подстановкой легко убедиться в том, что волновому уравнению удовлетворяют не только уравнения волн (2.2.14) и (2.2.20), но и любая функция вида

(2.3.2)

описывающая некоторую волну.

Уравнение (2.3.1) может быть записано более компактно с помощью оператора Лапласа

D= + + . (2.3.3)

С учетом выражения (2.3.3) волновое уравнение (2.3.1) принимает вид:

Dx . (2.3.4)

Основным следствием теории Максвелла был вывод о существовании электромагнитных волн. Все электромагнитные явления могут быть объяснены с помощью уравнений Максвелла:

(2.3.5)

(2.3.6)

+ (2.3.7)

(2.3.8)

Кратко напомним физический смысл уравнений (2.3.5)-(2.3.8). Уравнение (2.3.5) является обобщением закона электромагнитной индукции и поясняет гипотезу Максвелла о возникновении вихревого электрического поля за счет изменяющегося магнитного поля. Уравнение (2.3.6) отражает вихревой характер магнитного поля (силовые линии замкнуты), а также указывает на отсутствие магнитных зарядов.

Магнитное поле может быть создано как движущимися зарядами, так и за счет изменяющегося электрического поля, уравнение (2.3.7). Из уравнения (2.3.8) следует, что источником электрического поля могут быть заряды, причем силовые линии вектора начинаются и заканчиваются на них (или уходят в бесконечность).

Уравнения (2.3.5) - (2.3.8) называют уравнениями Максвелла в интегральной форме, так как они связывают усредненные характеристики поля в пределах объема, охватываемого поверхностью, через которую определяется поток, или в окрестности контура, по которому берется циркуляция. Уменьшая размеры поверхности или контура (стягивая их в точку), можно перейти к уравнениям в дифференциальной форме, которые связывают характеристики поля в каждой точке пространства.

Для описания свойств векторных полей вводится векторная функция точки rot (читается ротор вектора ), которая определяется выражением

(2.3.9)

Под (rot _n) подразумевается проекция вектора rot на положительную нормаль к площадке S, охватываемой контуром L (рис. 2.3.1).

Определение (2.3.9) не зависит от выбора системы координат, поэтому, выбирая ориентации площадки S в плоскостях yx, xz, xy, получим, соответственно, ориентации нормали, совпадающие с осями x, y, z, и, следовательно, с помощью выражения (2.3.9) можно найти проекции вектора rot на оси декартовой системы координат. Соответствующий расчет показывает, что эти проекции определяются выражениями:

(2.3.10)

(2.3.11)

. (2.3.12)

Запись формул векторного анализа существенно упрощается, если использовать векторный дифференциальный оператор набла (оператор Гамильтона)

Ñ= + + , (2.3.13)

где - орты декартовой системы координат.

Нетрудно убедиться, что вектор rot может быть представлен как векторное произведение векторов и :

rot = . (2.3.14)

Действительно, из уравнений (2.3.10)-(2.3.12) и выражения (2.3.14) получается одно и то же разложение вектора rot по осям декартовой системы координат:

rot . (2.3.15)

Кроме векторной функции точки rot , используется и скалярная функция точки div (читается дивергенция вектора ), общее определение которой дается выражением

^.(2.3.16)

Интеграл берется по произвольной замкнутой поверхности S, охватывающей объем V (рис.2.3.2).

Можно показать, что дивергенция вектора равна скалярному произведению вектора на вектор

. (2.3.17)

Стягивая в точку контуры, по которым берутся циркуляции, и поверхности, через которые определяются потоки, в уравнениях (2.3.5)-(2.3.8), можно получить уравнения Максвелла в дифференциальной форме:

, (2.3.18)

, (2.3.19)

, (2.3.20)

. (2.3.21)

При решении уравнений (2.3.18)-(2.3.21) используются соотношения между входящими в них величинами:

, (2.3.22)

, (2.3.23)

. (2.3.24)

Для однородной нейтральной (r = 0) непроводящей ( =0) среды уравнения (2.3.18)-(2.3.21), с учетом соотношений (2.3.22)-(2.3.24), принимают вид

, (2.3.25)

, (2.3.26)

, (2.3.27)

. (2.3.28)

Применим к уравнению (2.3.25) операцию rot

. (2.3.29)

В правой части уравнения (2.3.29), изменяя порядок дифференцирования по координатам и времени, получаем

. (2.3.30)

С учетом уравнения (2.3.27) и выражения (2.3.30) уравнение (2.3.29) можно записать в виде

. (2.3.31)

Произведя аналогичные преобразования с уравнением (2.3.27), получаем уравнение

. (2.3.32)

Операцию можно представить в соответствии с (2.3.14) как двойное векторное произведение

. (2.3.33)

В соответствии с правилами дифференцирования и формулой для двойного векторного произведения

получаем (2.3.33) в виде

С учетом выражений (2.3.28) и (2.3.34), уравнение (2.3.31) принимает вид:

. (2.3.34)

Выполняя аналогичные преобразования, уравнение (2.3.32) можно привести к виду

. (2.3.35)

Необходимо отметить, что уравнения (2.3.34) и (2.3.35) связаны друг с другом, так как они получены из уравнений (2.3.31) и (2.3.32)в каждое из которых входят векторы и .

Из сравнения уравнений (2.3.34) и (2.3.35) с волновым уравнением (2.3.1) следует, что они описывают электромагнитную волну, распространяющуюся с фазовой скоростью

^. (2.3.36)

Интересно отметить, что в вакууме (e = 1,m = 1) фазовая скорость принимает значение

то есть, равна скорости света.

Таким образом, из уравнений Максвелла (2.3.18)-(2.3.21) получены волновые уравнения (2.3.34) и (2.3.35), решения которых описывают электромагнитную волну. Для плоской электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси z решения уравнений (2.3.34) и (2.3.35) имеют вид:

(2.3.37)

Моментальная “фотография” такой волны представлена на рис. 2.3.3, из которого следует, что векторы и взаимно перпендикулярны и образуют с направлением распространения (ось z) правовинтовую систему. Из ортогональности векторов и , и направления распространения волны следует, что электромагнитная волна поперечна.

Установим соотношения между начальными фазами колебаний векторов ии их амплитудами Е_m и Н_m. Учитывая ориентации векторов и (рис. 2.33) уравнение плоской волны можно записать в виде:

(2.3.38)