Уравнение плоской и сферической волн. Длина волны, волновое число, фазовая скорость

Уравнением волны называется выражение, которое определяет смещение колеблющейся точки как функцию координат x, y, z ее равновесного положения и времени t:

x =x(x, y, z, t). (2.2.1)

Найдем явный вид функции x для плоской волны, считая что колебания носят гармонический характер. Направим ось х вдоль направления распространения волны, тогда волновые поверхности будут перпендикулярны к оси х. Так как все точки, принадлежащие волновой поверхности, колеблются одинаково, то смещение x будет зависеть только от х и t:

x = x (x,t). (2.2.2.)

Пусть колебания точек, лежащих в плоскости х = 0
(рис. 2.2.1), описываются гармонической функцией:

x(0,t) = Acoswt. (2.2.3)

Кратчайшее расстояние между частицами, колеблющимися одинаковым образом (в одинаковой фазе), называется длиной волны l. Длина волны, очевидно, равна расстоянию, на которое распространяется волна за период колебаний частиц:

l = V^.T. (2.2.4)

Учитывая связь периода колебаний T с частотой n, получим, что

ln=V. (2.2.5)

Найдем уравнение колебаний частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению x (это и будет уравнение плоской волны).

Для того чтобы пройти путь от плоскости x = 0 до плоскости, соответствующей значению x, волна затратит время

,

где V - скорость распространения волны.

Следовательно, колебания частиц в плоскости x будет отставать по времени на t от колебаний частиц в плоскости x=0, то есть уравнение колебаний будет иметь вид:

. (2.2.6)

Таким образом, уравнение плоской волны имеет вид:

(2.2.7)

При получении уравнения (2.2.7) изменение амплитуды колебаний не учитывалось, то есть это уравнение справедливо, если энергия волны не поглощается средой.

Найдем скорость распространения волны. Для этого зафиксируем значение фазы в уравнении (2.2.7), то есть положим:

(2.2.8)

Это выражение определяет координату x, для которой зафиксированное значение фазы достигается в данный момент времени t. Определив из (2.2.8) значение , найдем скорость, с которой перемещается данное значение фазы - фазовую скорость. Продифференцируем выражение (2.2.8), тогда получим:

dt- , откуда (2.2.9)

Из (2.2.9) следует, что фазовая скорость волны (2.2.7) положительна. Таким образом, уравнение (2.2.7) описывает волну, распространяющуюся в положительном направлении оси X.Очевидно, уравнение волны, распространяющейся в противоположном направлении, можно получить, заменив в уравнении (2.2.7) X на -X, то есть

x=A×cosw(t+ . (2.2.10)

Действительно, приравняв константе фазу волны (2.2.10) и продифференцировав, получим .

Уравнению плоской волны можно придать симметричный относительно t и x вид. Для этого введем волновое число k:

. (2.2.11)

С учетом формулы (2.2.4) из (2.2.11) получаем соотношение

, (2.2.12)

где - циклическая частота.

Заменив в уравнении (2.2.7) V согласно (2.2.12) и внеся в скобки w, получим уравнение плоской волны в виде

x=A×cos(wt-kx) . (2.2.13)

Очевидно, уравнение (2.2.10) также может быть записано в симметричном относительно t и x виде и будет отличаться от (2.2.13) знаком в аргументе у косинуса.

Получим теперь уравнение сферической волны. Если рассматривать волну на расстояниях от источника, значительно превышающих его размеры, то источник можно считать точечным. Такой источник в случае, когда скорость распространения волны во всех направлениях одна и та же, создает сферические волны. Пусть фаза колебаний источника равна wt , тогда фаза колебаний частиц среды лежащих на волновой поверхности радиуса r будет равна . В этом выражении учтено, что расстояние r волна проходит за время .

Как будет показано в §2.4,амплитуда колебаний в сферической волне убывает по закону , даже если среда не поглощает энергию волны. Следовательно, уравнение сферической волны имеет вид:

x= , (2.2.14)

где константа A₀ - численно равна амплитуде колебаний на расстоянии, равном единице длины. Размерность ее равна размерности амплитуды (зависит от физической природы волнового процесса), умноженной на размерность длины.

Получим уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении, образующем с осями координат x, y, z углы a, b и g.

Пусть источником колебаний будет плоская пластина, проходящая через начало координат (рис.2.2.3), колебания которой описываются уравнением

x(0,t) = Acoswt. (2.2.15)

В плоскости, отстоящей от начала координат на расстоянии l, колебания частиц будут отставать от колебаний источника на время t и, следовательно, их смещение будет описываться уравнением

= . (2.2.16)

Выразим l через радиус-вектор точек рассматриваемой плоскости (это плоскость является волновой поверхностью).

Для этого введем единичный вектор нормали к волновой поверхности. Из рис.2.2.3 следует, что

. (2.2.17)

Подставим выражение (2.2.17) в уравнение (2.2.16), тогда получим

(2.2.18)

Учтем, что и введем вектор

, (2.2.19)