Теорема умножения вероятностей. Предварительно введем понятие о зависимых и независимых событиях.

Предварительно введем понятие о зависимых и независимых событиях.

Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А\В).

Теорема умножения вероятностей формулируется следующим образом: вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место, т.е.

р(АВ)=р(А)р(В\А)=р(В)р(А\В). (5.4)

Из теоремы умножения вероятностей следует, что если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А, т.е. если р(А)=р(А\В), то р(В)=р(В\А). Таким образом, зависимость или независимость событий всегда взаимны. В связи с этим можно дать следующее новое определение независимых событий: два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого.

Понятие независимости событий может быть распространено на случай произвольного числа событий. Несколько событий называются независимыми, если любое из них не зависит от любой совокупности остальных.

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятности этих событий:

р(АВ)=р(А)р(В). (5.5)

Для n независимых событий

Р(С)=р (А )р (А )...р (А ), (5.6)

т.е. вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Надежность систем с последовательным соединением элементов

Последовательным (основным) называется соединение элементов, при котором выход из строя хотя бы одного из них приводит к отказу всей системы, т.е. последовательная структура работоспособна, если все ее элементы работоспособны.

Следует отметить, что в производственной системе элементы физически могут быть соединены и параллельно, однако по надежности они при этом могут соединяться как параллельно, так и последовательно.

Схема замещения (по надежности) системы с последовательной структурой представлена на рис. 5.1.

Рис. 5.1

Предполагая, что отказы элементов являются независимыми событиями, определяем на основе формулы (5.6) вероятность работоспособности (безотказной работы) последовательной структуры по формуле

(5.7)

где P (t) – вероятность безотказной работы i-го элемента, n – число элементов.

Вероятность отказа последовательной структуры

, (5.8)

где Q – вероятность отказа i-го элемента.

Если все элементы равнонадежны, т.е.

, ,

то формулы (5.7) и (5.8) принимают вид:

(5.9)

. (5.10)

Формулу (5.7) с учетом зависимости (3.11) можно представить в виде

, (5.11)

где (x) – интенсивность отказов i-го элемента.

Для экспоненциального закона распределения времени безотказной работы, т.е. при постоянной во времени интенсивности отказов каждого элемента, формула (5.11) упрощается и принимает вид

). (5.12)

Интенсивность отказов системы с последовательной структурой в целом на основании формул (3.13) и (5.12) можно определить по формуле

. (5.13)

Среднее время безотказной работы системы с учетом формул (3.16) и (5.13) рассчитывается как

, (5.14)

где Т – среднее время безотказной работы i-го элемента.

Среднее время восстановления системы

, (5.15)

где Т – время восстановления i-го элемента, является математическим ожиданием времени восстановления, взвешенным по интенсивности отказов n последовательно соединенных элементов.

Пример 5.1

Определить интенсивность отказов, среднее время восстановления, среднее время безотказной работы и вероятность безотказной работы в течение 1 года системы, состоящей из пяти последовательно соединенных элементов со следующими показателями надежности:

=0,50 год-1, T ;

=0,32 год-1, T ;

=0,30 год-1, T ;

=0,64 год-1, T ;

=0,001 год-1, T .

Решение

Интенсивность отказов системы

=0,50+0,32+0,30+0,64+0,001=1,761 год-1.

Среднее время восстановления

(0,50  16,0 + 0,32  8,0 + 0,30  6,0 + 0,64  12,5 +

+ 0,001  15,0) = 11,57 ч.

Среднее время безотказной работы

= 1/1,761 = 0,568 год = 4974 ч.

Вероятность безотказной работы за t = 1 год.

= ехр(-1,761 1) = 0,17.

Надежность систем с параллельным соединением элементов

Параллельным соединением называется структура, отказ которой наступает при отказе всех элементов, входящих в структуру.

Параллельную структуру называют также избыточной или резервированной, поскольку она содержит элементов больше, чем это необходимо для ее нормальной работы. При отказе одного или нескольких элементов функция структуры выполняется оставшимися в работе элементами, если последние удовлетворительно выполняют функции отказавших.

Схема замещения (по надежности) системы с параллельной структурой представлена на рис. 5.2.

В общем случае отказ параллельной структуры предполагает, что все m элементов находятся в состоянии простоя, т.е.

(5.16)

Рис. 5.2

Вероятность безотказной работы системы

(5.17)

При равнонадежных элементах имеем

(5.18)

. (5.19)

Как и для систем с последовательным соединением элементов, здесь предполагается независимость отказов всех элементов. Кроме того, пропускная способность элементов не ограничивается.

Число параллельно соединенных элементов в СЭС редко бывает больше трех. Вероятность того, что будут работать один или два элемента (при m = 2), в соответствии с формулой (5.3) рассчитывается как

(5.20)

Вероятность отказа обоих элементов

. (5.21)