Непосредственное решение исходного дифференциального уравнения.

Пусть система автоматического регулирования описывается линейным дифференциальным уравнением с правой частью

(7.4)

Для отыскания полного решения этого дифференциального уравнения необходимо найти частное или вынужденное решение уравнения с правой частью и определить корни характеристического уравнения

Как указывалось выше, полное решение будет иметь вид

(7.5)

Дальнейшим шагом является отыскание произвольных постоянных интегрирования С₁, . . . , С_п. Для этой цели используются начальные усло­вия: при t=0 х(0) = х₀, х' (0) = х'₀, . . ., х^(n-1)(0) = х₀^(n-1). Начальные условия накладываются на основании физических соображений или находят­ся из дифференциального уравнения (7.4). Дифференцируя уравнение (7.5) по времени n-1 раз и используя начальные условия, получают n алгебра­ических уравнений, куда входят n неизвестных постоянных интегрирования. Совместное решение этих уравнений дает возможность определить искомые постоянные интегрирования С₁, . . . , С_п.

Операции вычисления корней и совместного решения алгебраических уравнений являются трудоемкими. Это особенно относится ко второй опера­ции, так как вычисление корней может быть сделано довольно быстро приближенными методами. В связи с этим использование этого метода построения кривой переходного процесса ограничивается случаем сравнительно невысокого порядка дифференциального уравнения, обычно не выше третьего.

Расчеты получаются более простыми в том случае, когда правая часть (7.4) равна нулю, т. е. имеется однородное дифференциальное уравнение. Тогда частное решение равно нулю и полное решение (7.5) приобретает более простой вид:

(7.6)

В этом случае переходный процесс определяется только видом корней и начальными условиями. В табл. 7.1 для этого случая приведены формулы

Таблица 7.1

n	Вещественные корни	Комплексные корни
		—

для получающегося переходного процесса при различных степенях дифференциального уравнения n (от 1 до 3) и корнях различного вида. В таблице приняты следующие обозначения:

— абсолютные значения вещественных некратных корней; и —абсолютные значения вещественной и мнимой частей комплексного корня; — начальное значение исследуемой координаты; — начальное значение скорости изменения исследуемой координаты; — начальное значение ускорения.