Общие соображения

Дифференциальное уравнение обыкновенной линейной системы автома­тического регулирования, записанное для ошибки регулирования, согласно (5.2) имеет вид

, (7.1)

где — алгебраизированный оператор дифференцирования, g(t) —

задающее воздействие и f(t) — возмущающее воздействие.

Решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэф­фициентами (7.1) будет

(7.2)

где — общее решение однородного уравнения , имеющее вид

(7.3)

причем С₁, . . ., С_п — произвольные постоянные, определяемые из началь­ных условий процесса, а р₁,. . ., р_п — корни характеристического уравнения D (р) = 0. Выражение (7.3) записано для случая отсутствия нулевых и крат­ных корней.

Частное, или вынужденное решение определяется правой частью-уравнения (7.1), и оно соответствует некоторому установившемуся режиму в системе, который будет существовать после затухания .

Полным решением (7.2) описывается процесс регулирования в линейной системе (общий случай возмущенного движения системы). Первая часть этого-решения в виде (7.3) представляет собой собственное движение систе­мы, наложенное на частное решение .

Исходное дифференциальное уравнение системы может быть записано, также для регулируемой величины . В системах стабили­зации = 0 и поэтому .

Необходимо обратить внимание на следующее важное обстоятельство. Частное решение складывается из отдельных слагаемых, отвечающих отдельным членам правой части дифференциального уравнения (7.1). Если действует несколько возмущающих воздействий, то в решении будет соот­ветственно и несколько слагаемых. При этом каждое слагаемое частного решения может определяться по отдельности для каждого возмущающе­го или задающего воздействия независимо от других, а затем их можно скла­дывать. В этом состоит так называемый принцип суперпозиции.

Следовательно, если имеется дифференциальное уравнение

то частное решение определяющее установившийся процесс в системе, будет иметь три слагаемых, каждое из которых определяется частным реше­нием одного из уравнений:

Несколько иначе обстоит дело с определением переходной составляющей. В решении для переходной составляющей (7.3) произвольные постоянные С₁, . . ., С_п должны вычисляться по начальным условиям обязательно с использова-нием полного выражения решения (7.2), т. е. при исследовании переходных процессов в системах автоматического регулирования всегда надо оговаривать соответствующие внешние условия — задавать g(t) и f(t).

Если переходный процесс ищется как решение однородного уравнения при заданных начальных условиях системы, то результат такого решения отвечает случаю отсутствия задающих и возмущающих воздействий, причем система совершает свободное движение с какого-то смещенного начального положения. Если же переходный процесс происходит в результате изменения внешних условий (возмущающих сил, изменения нагрузки, перенастройки, изменения режима слежения и т. п.), то этот переходный процесс надо исследовать иначе, с определением произвольных постоянных из полного решения, включающего в себя установившуюся составляющую. Вид воздействия g(t) или f(t) и стоящих перед ними опера­торных многочленов оказывает существенное влияние на вид переходного процесса.

При нахождении кривой переходного процесса в системе автоматическо­го регулирования возникают две трудности. Первая трудность — принци­пиального характера — заключается в том, что в реальных системах регули­рования управляющие и возмущающие воздействия не являются известными функциями времени,а но­сят случайный характер. В связи с этим приходится рассматривать некоторые типовые входные воздей­ствия. Типовые входные воздействия стремятся вы­бирать так, чтобы они были _ по возможности близкими к реальным воздействиям в системе автоматического регулирования.

Входная функция первого типа часто встречается в системах автомати­ческого регулирования и представляет собой внезапный скачок возмущающе­го воздействия на некоторую постоянную величину, например увеличение тока нагрузки генератора, увеличение момента нагрузки двигателя и т. п. Реакция системы на такое воздействие, построенная для регулируемой величины или для ошибки, отличающихся только знаками представляет собой переходную функцию системы для данного возмущения.

Входная функция второго типа также встречается в системах автомати­ческого регулирования в виде кратковременного удара нагрузки, например при коротком замыкании элек­трического генератора, которое прекращается через небольшой промежуток времени системой защиты (плавкие предохраните­ли, максималь-ные автоматы и т. п.), при кратковременном возрастании момента нагрузки двигателя и т. д. Реакция сис-темы на воздействие этого типа представляет ее функцию веса. В следящих системах для построения переходного процесса могут приниматься типовые задающие воздействия (рис. 7.2) в виде единичной ступенчатой функции или в виде воздействия, изменяющегося по линейному закону . Воздей­ствие первого типа соответствует, например, в следящих системах воспроизведения угла быстрому повороту командной оси на некоторый угол. Реакция системы на такое задающее воздействие представляет собой ее пе­реходную функцию для задающего воздействия.

Воздействие второго типа является характерным для следящих систем воспроизведения угла, когда командная ось внезапно начинает двигаться с постоянной скоростью.

Возможно изучение поведения системы регулирования и в том случае, когда входное воздействие представляет собой не детерминированную (опре­деленную), а случайную функцию времени. Этот вопрос будет рассмотрен в главе 11.

Вторая трудность — непринципиального характера — заключается в том, что обычно системы регулирования описываются дифференциальными уравнениями сравнительно высокого порядка. Это усложняет практические расчеты; потому для облегчения задачи построения кривой переходного процесса во многих случаях приходится пользоваться приближенными мето­дами, а также применять вычислительные устройства непрерывного и дис­кретного действия.

Для построения кривой переходного процесса часто используют числен­ные и графические методы решения дифференциальных уравнений. Таких методов существует много. Применительно к задачам теории автоматического регулирования наиболее удобным оказывается численно-графический метод, разработанный Д. А. Башкировым [98, 121]. Важным достоинством этого метода является то, что он без заметных усложнений может применяться к уравнениям с переменными во времени параметрами и к нелинейным урав­нениям. Кроме того, метод Башкирова позволяет с одинаковой простотой строить процессы регулирования при любых заданных внешних воздействиях, в том числе и заданных графически или в виде таблиц. Для получения переходных процессов с большим успехом и весьма широко применяются также вычислительные машины. Различаются вычисли­тельные машины непрерывного и дискретного (цифровые) действия. Они строятся на электронных, полупроводниковых и электромеханических эле­ментах.

Для сложных автоматических систем в настоящее время этому методу отдается предпочтение. Важно отметить, что при использовании вычисли­тельных машин часто можно обходиться без составления дифференциальных уравнений тех звеньев автоматической системы, для которых имеются дей­ствующие макеты. Тогда для остальной части звеньев набираются их диффе­ренциальные уравнения на вычислительной машине, к которой подключают­ся имеющиеся действующие макеты. Это свойство можно использовать для испытания и настройки регуляторов в лабораторных условиях.

Ниже будет рассмотрена часть наиболее распространенных методов построения кривой переходного процесса. К ним относятся метод непосред­ственного решения линейных дифференциальных уравнений или так называе­мый классический метод, использование преобразований Фурье, Лапласа и Карсона — Хевисайда, метод трапецеидальных вещественных частотных характеристик и использование вычислительных машин.

В дальнейшем изложении будем рассматривать построение переходного процесса для ошибки . Однако методика остается единой и для других случаев построения переходного процесса, например для отыскания при .