Плотность квантовых состояний в квантово-размерных структурах с квантовыми ямами, квантовыми нитями и квантовыми точками.

Концентрация нейтральных и ионизированных доноров и акцепторов

Концентрация нейтральных доноров

Nd - концентрация доноров

Концентрация ионизированных доноров

Концентрация нейтральных акцепторов

N_A⁰ = f_A N_A

N_A – концентрация акцепторов

Концентрация ионизированных акцепторов

N_A^- = f_A^- N_A

Уровень Ферми и концентрация электронов в невырожденных некомпенсированных полупроводниках n-типа

Выделим области низких температур, где происходит ионизация мелких доноров и высоких температур, где происходит ионизация для атомов основного вещества, так как энергия ионизации доноров DE_d << DE (ширина запрещенной зоны полупроводника).

Низкая Т (область примесной проводимости)

Определить F и n.

Из анализа электронных процессов следует, что:

n = N_d⁺ или n = P_d

Pd – концентрация дырок на уровне Ed

- уравнение электрической нейтральности.

Опредилим F:

Введем:

Решение уравнения:

Значение X(F) зависит от члена ,который может быть >> 1 или << 1.

- для

,

- для

Откуда

При T=0 К уровень Ферми лежит между уровнем Е_С и Е_d и с повышением температуры уровень F будет подниматься к уровню Е_С, проходить через максимум при Т = Т_max и затем опускаться.

Это связано с тем, что 2N_C становится больше N_d с ростом температуры.

Концентрация электронов:

- концентрация зависит по экспоненте от температуры

- угловой коэффициент

Зависимость определяется энергией ионизации донора -

- n и F для

С ростом температуры и

разложение в ряд

(**) – уровень F удаляется от E_C и пересекает уровень E_d в сторону E_i

Возникает дырка в валентной зоне или это адекватно переходу e из валентной зоны на уровень Ел

Концентрация нейтральных и ионизированных доноров и акцепторов

Концентрация нейтральных доноров:

N⁰_d=ƒ_dN_d= N_d / (1/2e ^Ed-F/kT+1)

N_d – концентрация доноров

Концентрация ионизированных доноров Nd⁺ =ƒ_d⁺N_d= N_d / (2e ^{F-Ed /kT}+1)

Концентрация нейтральных акцепторов N_A⁰=ƒ_AN_A N_{A -} концентрация акцепторов

Концентрация ионизированных акцепторов N_A^-=ƒ_A^-N_A

Уровень Ферми и концентрация e^ab в невырожденном некомпенсированном п/пn-типа

Выделим области низких температур, где происходит ионизация мелких доноров и высоких температур, где происходит ионизация атомов основных веществ, т к энергия ионизации доноров _ΔE_d<<_ΔE (ширина 33 п/п.

Низкая Т (область примесной проводимости)

Определить F и n

Из анализа электрон. прогрессов следует что n = N_d⁺ или n=Pd

Pd- конц дырок по урав.Ed(урав электр нейтральности)

Определим F

Nc*e^(F-Ec)/kT =Nd/ (2e^(F-Ed)/kT +1)

Введем х=e^F/kT

Nc*x* e^Ec/kT = Nd/(2xe^-Ed/kT+1)

Nc*x* e^Ec/kT *2xe^-Ed/kT + Nc*x* e^Ec/kT-Nd=0

Решим уравнение:

X=1/4e^Ed/kT *(√(1+δNd/Nc*e^ΔEd/kT )-1)=e^F/kT

_ΔEd=Ec-Ed

Значение x(F) зависит от члена 8Nd/Nc*e^ΔEd/kT , который может быть >>1 или <<1

Для 8Nd/Nc*e^ΔEd/kT>>1:

0 K T

Обл прилегающая к 0 К низкие

Nc~T^3/2 , kT<_ΔEd

Для 8Nd/Nc*e^ΔEd/kT<<1:

X=1/4e^Ed/kT√(8Nd/Nc) e^ΔEd/kT =e^F/kT

Откуда : F=(Ec+Ed)/2+(kT/2)ln(Nd/2Nc)

При Т=0 К уровень Ферми м/у уровнями Ес и Ed и с новым Т-ур F будет понижаться к ур Ec проходить через max при T=Tmax и затем опускаться

Это связано с тем что 2Nc становятся больше Nd с ростом Т.

F

Ошибка: источник перекрестной ссылки не найден

Концентрация электронов:

n=Nc*e^(F-Ec)/kT=Nc*e ^{[(Ec+Ed)/2+(kT/2)ln(Nd/2Nc)-Ec]/kT}

n=√[(Nd+Nc)/2] e^ΔEd/2kT – концентрация зависит по экспоненте от Т

Ошибка: источник перекрестной ссылки не найден

n и F для 8Nd/Nc*e^ΔEd/kT<<1

С ростом Т е^ΔEd/kT 1 и Nc>>8Nd

X=1/4 е^Ed/kT(1+(1/2)*8Nd/Nc*е^ΔEd/kT+…-1) (разложение в ряд)

X=1/4 е^Ed/kT4Nd/Nc* е^ΔEd/kT=Nd/Nc*e^Ec/kT

e^F/kT=Nd/Nc* e^Ec/kT

F=Ec+kTln(Nd/Nc) уравнение F (удал от Ес и пересекает уровень Ed в сторону Ei.

N=Nc^(F-Ec)/kT=Nc*e [Ec+kTln(Nd/Nc)-Ec]/kT

n=Nc*Nd/Nc n=Nd (концентрация электронов равна концентрации примеси)

Т. о. примесь полностью ионизирована:

n=Nd⁺=Nd – если истощена, т.е. не поставляет е^ы в зоне проводимости.

В некотором интервале Т, концентрация электронов не будет зависеть от Т, пока не начнется ионизация атомов основного вещества. Этот интервал Т – называется областью истощения примеси.

Высокие Т – начинается переход к обл. собств. проводимости, - возрастает концентрация неосновных носителей дырок.

np=n_i²

Концентрация электронов n=p+Nd

n=Nd/2(√[1+4n_i²/Nd²]+1) где 4n_i²/Nd² может быть <<1 или >>1

для 4n_i²/Nd² <<1 ; n= 2*Nd/2=Nd

т.е это температуры где 8Nd/Nc*e^ΔEd/kT<<1 уровень F=Ec+kTln(Nd/Nc)

для 4n_i²>>1 ; n=2n_i*Nd/(2*Nd)=n_i

n=n_i – собственная концентрация, т. е. при этом условии полупроводник находится в область собственной проводимости.

Уровень F: Nc*e^(F-Ec)kt=(Nc*Nv)^1/2e^-ΔEg/2kT

Откуда F-Fi=(Ec+Ev)/2+kT/2ln(Nv/Nc), т.е. как в собственном полупроводнике.

Температурная зависимость n и F

F ln n

Тниж Тверх – нижняя и верхняя границы области истощения

Компенсационный полупроводник n-типа

В полупроводник введены доноры(Nd,_ΔEd) и акцепторы(N_A,_ΔE_A)

Степень компенсации Na/Nd(Nd>Na)

Электронные процессы

Часть доноров, равная N_A идет на компенсирование акцепторов

Активные доноры – поставщики электронов (Nd-N_A)

В области низких температур концентрация электронов равна

N=2(Nd-N_A)/[(1+2Na/Nc*e^ΔEd/kT)+({1+2Na/Nc*e^ΔEd/kT}²+8{Nd-Na}/Nc* e^ΔEd/kT)]

При низкой компенсации имеем случай, аналогично некомпенсированному. Полупроводник n-типа.

8(Nd-Na)/Nc* e^ΔEd/kT>>2Na/Nc*e^ΔEd/kT

Nd<<Na

n≈Nd и F=Ec+kTln(Nd/Nc)

Случай сильной компенсации:

2Na/Nc* e^ΔEd/kT >>1 и >>8(Nd-Na)/Nc* e^ΔEd/kT

n≈[2(Nd-Na)]/[2*2Na/Nc* e^ΔEd/kT]

n=(Nd-Na)/(2Na)*Nc*e^-ΔEd/kT

Уровень Ферми

Nc*e^(F-Ec)/kt = (Nd-Na)/2Na*Nc* e^-ΔEd/kT

e^(F-Ec)/kt = (Nd-Na)/2Na*e^-(Ec-Ed)/kt

e^F/kT = (Nd-Na)/2Na*e^Ed/kT

F=Ed+kTln[(Nd-Na)/2Na]

При Т=0 К F=Ed

Температурная зависимость n(T) и F(T)

Ошибка: источник перекрестной ссылки не найден

Вырожденные полупроводники

При сильном легировании примесями(донорами) концентрация электронов в полупроводнике n-типа возрастает и уровень Ферми приближается к уровню Ec, а затем пересекает его и входит в зоне проводимости – начинается вырождение электрон. газом. В полупроводнике p-типа при сильном легировании акцепторами уровня Ферми входит в валентной зоне – начинается вырождение дырочного газа.

Критерии вырождения полупроводника является критическая концентрация Nd_Крит или Na_Крит

Оценим величину Ndкрист для полупроводника n-типа

Из уровня F=Ec

Концентрация электронов в ЗП: n=Nd⁺

(2Nc/√n)φ_1/2(0)=Nd/(1+2e ^(F-Ed)/kT)

ξ = (F-Ec)/kT=0 F-Ed=_ΔEd – энергия ионизации доноров

т о Nd=(2Nc/√n) φ_1/2(0)(1+2e^ΔEd/kT)=Ndкрит

Ndкрит носит оценочный характер, т.к. не учитывалась возможность образования примесной зоны (расщепление дискретного уровня Ed в зону энергии).

При сильном легировании изменяется электронный спектр полупроводника – возникают “хвосты” плотности состояний в запрещенной зоне.

Ошибка: источник перекрестной ссылки не найден

Ширина запрещенной зоны уменьшается : _ΔEg^*<<_ΔEg