Концентрация электронов и дырок в зонах для различных степеней вырождения электронного или дырочного газа.

Эффективная масса дырок для плотности состояний - m_pd

вводится для вырожденной валентной зоны (вырождение по энергии)

V₁ и V₂ – стыкуются в точке - имеют одинаковую энергию, но разные волновые функции.

V₁ – подзона тяжелых дырок с изотропной массой – m_p1

V₂ – подзона легких дырок с эффективной массой – m_p2.

Плотность состояний для валентной зоны:

эффективная масса дырок для плотности состояний.

Таким образом, с введением m_pd сложная V-зона заменяется параболичной невырожденной валентной зоной:

Модель полупроводников с m_nd и m_pd:

Концентрация электронов и дырок в условиях равновесия в темноте

Концентрация электронов в зоне проводимости.

В интервале E, E + dE в зоне проводимости кристалла единичного объема содержится d_n-электронов:

В зоне проводимости:

или

Введем новые переменные:

x= E – Ec/ kT – энергия электронов в единичном kT, отсчитывается от дна Ec.

- приведенный уровень Ферми

– эффективная плотность состояний в зоне проводимости

Тогда - интегралы Ферми: от параметра порядка 1/2.

- общая формула для любой степени вырождения электронного газа.

Приближенные значения :

невырожденный электронный газ

промежуточный случай

сильновырожденный электронный газ (металлы, вырожденые полупроводники)

Концентрация электронов проводимости в невырожденных полупроводниках

Общая формула:

N_C – эффективная плотность состояний в зоне проводимости - интеграл Ферми.

Рассмотрим:

dn – число электронов в интервале E, E + dE зоны проводимости для V = 1

* - это указывает на незначительную концентрацию электронов в зоне проводимости – что характерно для невырожденного полупроводника.

Электроны распределены в узком интервале энергий вблизи дна зоны проводимости.

Определим n:

– концентрация зависит по экспоненте от T – признак невырожденности электронного газа.

Электропроводность полупроводника так же зависит по экспоненте от T:

( - слабее зависит от T)

Концентрация электронов проводимости в сильновырожденном полупроводнике

Площадь под кривой значительно больше, чем невырожденности полупроводника, что указывает на большую концентрацию электронов в зоне проводимости.

, где

Таким образом, n не зависит от T – признак сильного вырождения электронного газа.

При T = 0 s ¹ 0 (как в металле)

Для промежуточной системы вырождения электронного газа:

Концентрация дырок в полупроводнике p-типа

Невырожденный дырочный газ (полупроводник):

Сильно вырожденный дырочный газ (полупроводник):

Сильновырожденный полупроводник p-типа:

Смысл Nc и Nv в статистике

Таким образом, при расчете n в невырожденном полупроводнике n-типа зону проводимости представляют как набор Nc числа уровней с одинаковой энергией Ec.

Nv – валентная зона состоит из Nv уровней с одинаковой энергией Ev.

Уравнение электрической нейтральности для полупроводников и диэлектриков

Для определения n, p необходимо знать положение уравнения Ферми. Его определяют из уравнения электронейтральности полупроводников (диэлектриков).

Смысл уравнения: в любом физически малом объеме полупроводника (диэлектрика) концентрация отрицательно свободных и связанных зарядов = концентрации свободных и связанных зарядов.

Свободные носители - и h⁺

Связанные: дырки на уровнях донора – концентрация Pd (D⁺) электроны – акцептора - n_a (A^-).

Собственный полупроводник

Уровень Ферми. Собственная концентрация носителей заряда.

Электронные процессы:

G₀ и R₀ – скорости процессов.

В равновесии G₀ =R_0.

Этому состоянию соответствует равенство n = p = n_i

n_i – собственная концентрация носителей заряда.

G₀ – термическая генерация и h⁺.

Энергия рекомбинирующих частиц( + h⁺) идет на нагрев кристалла (возбуждение определенных типов колебаний кристаллической решетки).

Определение Fi

Уравнение электронейтральности: n = p

Для невырожденных собственных полупроводников:

Откуда:

или

F_i линейно зависит от T.

Собственная концентрация n_i

откуда

n_i – зависит от DEg, плотности состояний в зонах и температурах:

линейно зависит от .

Угловой коэффициент ( )

Таким образом, по n_i (T) можно определить DE_g при T = 0 k.

Произведение np в невырожденном полупроводнике

- не зависит от положения уровня Ферми в полупроводнике.

Используется для определения концентрации неосновных носителей заряда по известной концентрации основных носителей заряда.

· – Закон действующих масс для полупроводников n-типа.

· или – Закон действующих масс для полупроводников p-типа.

Статистика примесных состояний. Функция распределения электронов и дырок по примесным состояниям. Плотность примесных состояний. Примесные зоны. Влияние температуры и концентрации примеси на концентрацию свободных электронов и дырок.

Статистика носителей заряда в легированных полупроводниках

Легирован мелкими донорами.

Концентрация доноров – N_d, энергия ионизации - DE_d.

Электронные процессы

При T = 0 k доноры электрически нейтральны и концентрация электронов равна нулю.

При повышении T: доноры ионизуются и концентрация электронов будет равна концентрации ионизованных доноров.

При росте T – все доноры ионизуются и концентрация электронов:

– концентрация доноров

- наступает истощение примеси.

Рассмотренный интервал T – область примесной проводимости.

Дальнейший рост T: в некотором диапазоне T n не будет зависеть от T, пока не начнется процесс ионизации собственных атомов (смотри *).

Функции распределения электронов и дырок по примесным состояниям ft

Функция ft должна отличаться от функции f_Ф-Д (E, T) из-за спинового вырождения состояний в энергетической зоне,

что увеличивает вероятность перехода электрона из зоны проводимости на уровень Ed.

Это учитывает функция f_t в виде: ,где

g_i – коэффициент, учитывающий спиновое вырождение уровней.

E_i – основной уровень примесного центра.

Функция распределения электронов по уровням доноров:

- определяет вероятность нахождения доноров в нейтральном состоянии D⁰ (D⁺ e^-)*

Для доноров g = 2

Ed – основной уровень

* или электрона на уровне Ed

При f = E_d f_d = 2/3 (выше, чем в зоне проводимости)

Вероятность нахождения донора в ионизованном состоянии:

или дырки на уровне донора.

Функция распределения дырок по уровням акцепторов

- вероятность нахождения акцепторов в нейтральном состоянии A⁰(A^-h⁺)

для акцептора g = 2, E_A – основной уровень.

Вероятность нахождения акцепторов в ионизированном состоянии:

(или вероятность нахождения электронов уровня E_A – (А^-) состояние акцептора)

А⁰(A^-h⁺) = A^- + h⁺ - ионизация акцептора, возникает дырка в валентной зоне или это адекватно переходу электрона из валентной зоны на уровень E_A.