Модификований метод Ейлера

На відміну від звичайного метода Ейлера в цьому методі використовується оцінка поведінки інтегральної кривої в наступних точках. Порядок побудови рішення в модифікованому методі Ейлера полягає в наступному.

Через точку Р_i(X_i,Y_i) (мал. 5.2) проводиться дотична А₁ з тангенсом кута нахилу f(X_i,Y_i) до перетинання з ординатою в точці X=X_i + h/2 (по методу Ейлера (6)). Одержуїмо точку перетинання В з координатами (X_i+h/2, Y_i+h/2*Y_i'). Вираховуваем тангенс кута нахилу дотичної в цій точці: К_i=Y_i'+1/2=f(X_i+h/2, Y_i+h/2*Y_i'). Пряма з таким нахилом, яка проходить через точку В, позначена А₂. Далі, через точку Р_і(X_i,Y_i) проводимо пряму А_о, паралельну А₂. Перетинання прямой А_о з ординатою Х=Х_і+1 і дае шукану точку Р_і+1(X_i+1,Y_i+1).

Рівняння прямої А_о можно записати:

Y_i+1=Y_i+K_i*(X_i+1-X_i)=Y_i+h*f(X_i+h/2,Y_i+h/2*Y_i') (5.9)

Формула (5.9) описуе модифікований метод Ейлера. Інтегрування за модифікованим методом Ейлера міститься у послідовному застосуванні формул (5.6) (при h=h/2) і (5.9) до рівняння (5.3), починаючи з I=1. Цей метод є більш точним (другого по рядку точності), ніж метод Ейлера (який маї перший порядок точності).

ПРИКЛАД.

Розв'язати модифікований метод Ейлера рівняння (5.8) з початковою умовою Y(0)=0, на відрізку [0; 4], крок h=1. Результати обчислень заносимо у табл. 5.2.(заповняючи її по строчкам)

Таблиця 2

Рішення рівняння (5.8) модифікованим методом Ейлера