Метод Ейлера

Хай дається рівнення (5.3), задовольняючє початковоі умові (5.4). Рішенням цього рівнення виявляється функція Y=Y(X), яка визначена на інтервалі [a,b]. Для інтегрування скористуємося (5.5), обмежавшись двома членами ряда:

Y_i+1 = Y_i+h.Y_i' = Y_i+h.f(X_i,Y_i) (5.6)

Інтегрування за методом Ейлера міститься у послідовному застосуванні формули (5.6) до рівнення (5.3), починаючи з k=1. У присутньості початкової умови (5.4) для обчислення Y₁ не потрібна додаткова інформація - достатньо обчислити праву частину (5.3) при заданих значеннях X_o та Y_o.

Обчислення Y₁ аналогічне проведенню дотичної в точці (X_o,Y_o), тангенс кута нахилу якої задаїться правою частиною (3) при X=X_o, Y=Y_o, до перети-нання з вертикальною прямою, проведенною із точки X=X₁ (мал. 5.1). При наступньому кроці, тобто при обчисленні Y₂, знов визнача’ться похідна, але вже у точці з координатами (X₁, Y₁). З цієї точки проводиться дотична до перетинання з прямою X=X₂. Аналогічно повторюються обчислення для Y₃, Y₄,... .

При достатньо малой величини кроку h метод Ейлера дає рішення з достатньою точністью, тому що хиба рішення близька до h² (h<<1) на кожному кроці інтегрування. До недоліків методу необхідно віднести сильну залежність одержаного рішення від величини кроку h та збільшення об'єму обчислень для досягнення задовільної точністі.

ПРИКЛАД.

Рівнення швидкості послідовно протікаючих реакцій

записується у слідуючому вигляді:

= K₁*[A_o]*exp(-K₁*t)-K₂*[p] (5.7)

де [p]-концентрація речовини р на час t від початку реакції; К₁=0.05 і К₂=0.0065 - константи швидкостей першої та другої реакцій,відповідно,л/(моль*хв); [A_o] - початкова концентрація речовини А.

Знайти,чому будуть дорівнювати значення [p] через 1, 2, 3, 4 хв після початку реакції,

якщо при t=0 [p]=0, a [A_o]=1.

РІШЕННЯ: Позначим Y=[p], X=t.Тоді рівняння (5.7) після підстановки чиселних значень констант прийме вигляд:

= f(X,Y)=0.05*exp(-0.05*X)-0.0065*Y (5.8)

Результати обчислень заносимо у табл. 5.1.(заповняючи її по строчкам).Згідно з умовою

задачі крок h=1

Таблиця 5.1

Рішення рівняння (5.8) методом Ейлерa

Вирішення задачі - сукупність значень Y(i=0,1,..,4).