Метод Зейделя. Метод Зейделя являеться модифікацією метода простої ітерації

Метод Зейделя являеться модифікацією метода простої ітерації. Він заключається у тому, що при обчислюванні k-го приближення неві домого x_i при i>1 використовуються вже вичисленні раніше k-ті приближення невідомих х₁, х₂,.., х_i-1. Таким чином k-е приближення до рішення буде даватися наступною формулою:

x^(к)_i = (f_i - c_i1*x^(к)₁ -...-c_i,i-1*x^(к)_i-1 -c^(к-1)_i,i+1*x_i+1 - ... - c^(к-1)_i,n*x_N /a_i,i , (i=1,2,...,n)

Блок-схема методу приведена на мал.(2.4)

Умови сходження для методу простої ітерації залишаються вірними також для методу Зейделя. Метод Зейделя дає кращу сходимість, ніж метод простої ітерації. Крім того метод Зейделя більш зручніш при програмуванні, бо при обчислюванні x^(к)_i нема необхідності берегти значення x^(к-1)_i ,....,x^(к-1)_i-1 .

Рекомендація до застусування метода Зейделя залешаются тими ж, що і для методу простої ітерації.

ПРИКЛАД

Методом Зейделя виришити попередній приклад .

Використуєм систему рівннянь (2.7) з тими ж початковими приближеннями.

Проведемо ітерації методом Зейделя.При k=1:

x⁽¹⁾₁ = 3 - 0.25*3.3 = 2.175

При обчислюванні х⁽¹⁾₂ використовуємо вже получене значення x⁽¹⁾₁ :

x⁽¹⁾₂ = 3.25 - 0.25*2.175 + 0.25*5.5 = 4.081

При обчислюванні x⁽¹⁾₃ використовуємо значення x⁽¹⁾₁, x⁽¹⁾₂

x⁽¹⁾₃ = 5.5 - 0.5*2.175 + 0.125*4.081 = 4.923.

Аналогічним чином обчислюємо при k=2,k=3......

Результати подальших обчислювань доведені у таблиці.

-------------------------------------------------------------

k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4

-------------------------------------------------------------

x1 3 2.175 1.980 2.004 2.000

x2 3.3 4.081 3.986 4.001 4.000

x3 5.5 4.923 5.008 4.998 5.000

-------------------------------------------------------------