Частина 2

З курсу

“Обчислювальна математика

та програмування”

Частина 2

ОДЕСА – 98

Луговській В.І. Конспект лекцій з курсу “Обчислювальна математика та програмування” . Частина 2. Навчалний посібник для студентів хіміко-технологічних спеціальностей. – Одеса:

Одеський державний політехничний універсітет, 1997. - 38 с.

ЗМІСТ

.

1. МЕТОДИ РІШЕННЯ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ 5

1.1. Відділення корней 5

1.2. Уточнення корней 5

1.2.1. Метод ділення відрізка наполовину 6

1.2.2. Метод Ньютона (доточних) 7

1.2.3. Метод хорд (сікучих) 8

1.2.4. Метод ітерацій (метод послідовніх приближень) 9

2. ЧИСЛЕННЕ РІШЕННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАІЧНИХ РІВНЯНЬ 10

2.1. Метод Крамера. 11

2.2. Метод Гаусса. 11

2.3 Блок-схема програми для рішення систем лінійних рівнянь методом Гаусса 12

2.4. Метод простій ітерації 14

2.5. Метод Зейделя 16

3. ОБРОБКА ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИХ ДАНИХ 17

3.1. Задачі, які виникають при обробці експериментальних даних 17

3.2. Інтерполіровання 17

3.2.1. Інтерполіровання функцій 17

3.2.2 Зворотне інтерполіровання 19

3.3. Апроксимація 19

3.3.1. Вибір емпирічної формули. Метод вирівнювання 19

2) Розраховуваєм нові перемінні X та Y та занесемо їх до табл. 3.1. 20

3.3.2.Визначення параметрів емпирічноі формули 21

3.3.2.1. Метод обраних точок 21

3.3.2.2. Метод середніх 21

3.3.2.3. Метод найменьших квадратів 22

4. МЕТОДИ ЧИСЕЛЬОГО ІНТЕГРУВАННЯ 24

4.1. Метод трапецій 24

4.2. Метод Сімпсона 25

4.3. Оцінка точності формул чисельного інтегрування. 26

Вибір кроку інтегрування 26

4.3.1. Вибір кроку інтегрування за оцінкою остаточного члена (помилки) 27

4.3.2. Вибір кроку інтегрування за допомогою подвійного перерахунку 27

5. МЕТОДИ ЧИСЕЛЬНОГО ІНТЕГРУВАННЯ ЗВИЧАЙНИХ 28

ДІФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ 28

5.1. Одноступінчати методи 29

5.1.1. Рішення за допомогою рядів Тейлора 29

5.1.2 Метод Ейлера 30

5.1.3. Модификований метод Ейлера 30

5.1.4. Метод Ейлера-Коши 31

5.2. Багатоступінчати методи 32

6.1. Постановка задачи 34

6.2. Метод кінцевих різностей 35

6.3. Метод прогонки 36

6.4. Алгоритм рішення крайової задачі методом прогонки 37

1. МЕТОДИ РІШЕННЯ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ

Любе рівняння з одним невідомим може буте записане у вигляді

f(x) = 0 (1.1)

де f(x) - деяка функція аргументу x.

Рішення рівнянь (1.1) заключається у тому, щоб знайти такі значення аргументу X, при підстановці яких воно зверталось би у тотожність. Це значення незалежної змінної називається коренем рівняння.

Обчислювання кореней алгебраїчних та трансендентних рівнянь вигляду (1.1) складається з кількох етапів . Спочатку визначають, які корені потрібно знайти, наприклад, тільки дійсні чи тільки додатні і т.п. Потім визначають області, содержащі по одному корню рівняння (1.1) - віділення кореней. Далі, застосовувати який-небуть обчіслюваний алгоритм, знаходять виділений корінь з потребуємою точністю - уточнення (обчислювання) кореней. На заключному етапі проводиться звірка отриманих результатів.

1.1. Відділення корней

При рішенні інженерних завдань відділення корней і оцінка навчального приближення корня рівняння (1.1) часто проводиться виходячи з фізичного розуміння. Наприклад, при рахуванні густини углеводних сумішей відомо, що найменшій корінь відповідає гущині парової фази, а найбільшій - гущині жідкісті.

Отділення корней може проводитися шляхом аналізу функції f(x) та ії похідних, чи шляхом графічного побудовання залежності y=f(x).

У основі першего способу використовується наступне положення. Якщо на кінцях деякого інтервалу змінення аргументу X неприривна і монотонна функція f(x) приймає різні знаки, то на розгляненому інтервалі знаходиться дійсній корінь рівняння (1.1). Другий спосіб заключається у тому, що будується графік функції та визначаються точки його перехрещення з осью абцис, які з точністью побудування графіку відповідає корням рівняння F(x)=0.