Условия параллельности и ортогональности прямых, угол между прямыми, пучок прямых. Уравнения плоскости в пространстве.

Цель: Изучить условия расположения прямых на плоскости, метод вычисления угла между прямыми. Изучить уравнения плоскости в пространстве и основные характеристики.

Расположение прямых на плоскости определяется по взаимному расположению их направляющих векторов или отношением угловых коэффициентов.

1. Пусть прямые заданы в общем виде. : и : , где , соответствующие им векторы нормали.

Если , то и координаты векторов пропорциональны .

Если , то и значит, скалярное произведение векторов равно нулю . В координатной форме это запишется как .

Если - угол между прямыми , то он равен углу между векторами и тогда

.

2. Пусть прямые заданы каноническим уравнением. : и : , где , соответствующие им направляющие векторы.

Если , то и их соответствующие координаты пропорциональны .

Если , то и их скалярное произведение равно нулю . В координатной форм .

Если - угол между прямыми то он равен углу между векторами и тогда

.

3. Пусть уравнения прямых заданы через угловой коэффициент. : и : (или в виде (7.7)). Тогда угол между прямыми, определяется как разность углов наклона прямых к положительному направлению оси : подставляя это в формулу тангенса разности, получим:

(8.1)

Или через угловые коэффициенты прямых

(8.2)

Из соотношения (7.9) легко определяются условия ортогональности и коллинеарности прямых.

Если , то угол между ними равен нулю и, следовательно , что возможно только при обращении в нуль числителя в формуле (7.9) и значит, для параллельных прямых .

Если , то , и следовательно не определен, т.е. знаменатель формулы (7.9) обращается в нуль : . Откуда получаем условие ортогональности прямых: .