Нормированное уравнение прямой

Пусть - единичная нормаль заданной прямой , т.е. . Возьмем на прямой произвольную точку , координаты ее радиус вектора совпадают с координатами точки. Выразим уравнение прямой через угол и радиус вектор (рис. 7.5). Т.к. , то его координатами являются направляющие косинусы . Т.к. и , то , и следовательно .

Точка , ее проекция на вектор нормали равна радиус вектору . Но, проекцию точки на вектор можно вычислить через скалярное произведение (формула 5.7) . Приравнивая правые части и учитывая, что получим .

(7.10)

– нормированное уравнение прямой.

Рис. 7.5

Установим связь между нормированным и общим уравнением прямой.

Если дано : , то , , . , поэтому , , , где знак выражения зависит от (противоположный ), следовательно, получается нормированное уравнение

Определение. Совокупность лежащих на данной плоскости прямых, проходящих через точку , называют пучком прямых с центром в точке .

Теорема. Если и уравнения двух различных прямых, пресекающихся в некоторой точке , а и произвольные числа, причем , тогда есть уравнение прямой, проходящей через точку . Более того, какова бы ни была наперед заданная проходящая через точку прямая, она определяется выше записанным уравнением при некоторых и .