Свойства скалярного произведения
1) (коммутативность).
Непосредственно следует из коммутативности произведения чисел;
2) (дистрибутивность).
Для доказательства этого свойства воспользуемся линейным свойством проекции и формулой, связывающей скалярное произведение и проекцию. Поскольку и , тогда
= ;
2) Скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля этого вектора:
(5.5)
Выполняется для любого вектора , следует из определения, поскольку угол между вектором и равен нулю, тогда ;
4) Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения
где - произвольное действительное число.
Доказывается по аналогии со свойством 2. Поскольку и , тогда ;
5) Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
(5.6)
Доказательство. Докажем, что если векторы ортогональны, то их скалярное произведение равно нулю. Действительно, если и ортогональны, следовательно, - угол между векторами равен , тогда , тогда из определения следует, что .
Докажем теперь, что если скалярное произведение векторов равно нулю, то они ортогональны. Пусть оба вектора ненулевые, (т.к. в противоположном случае доказательство тривиально, поскольку нулевой вектор не имеет определенного направления и его можно считать ортогональным любому вектору). Тогда и , поэтому только в том случае, если , т.е. векторы должны быть ортогональны.
6) векторы ортонормированного базиса декартовой прямоугольной системы координат удовлетворяют соотношениям:
, т.к. векторы попарно ортогональны .
Если базисные векторы ортогональны, то для каждого вектора координаты в данном базисе будут равны: , поскольку – ортонормированный базис, тогда .
Геометрический смысл скалярного произведения: с помощью скалярного произведения можно вычислить проекцию вектора на вектор , и косинус угла между векторами:
(5.7)
(5.8)
Теорема. Если базис ортонормированный и , , то
(5.9)
где – координаты векторов в ортонормированном базисе.
Доказательство. Поскольку и , тогда найдем скалярное произведение векторов используя свойства дистрибутивности и ассоциативности:
=
=
.
Следствие. Необходимым и достаточным условием ортогональности векторов и является условие .
Следствие. Длина (модуль) вектора равна .
Следствие. , где - угол между векторами .
Следствие. Если , тогда:
.
Дата добавления: 2015-08-26; просмотров: 1316;