Вынужденные колебания.
Для того, чтобы колебания не затухали, колебательную систему нужно подпитывать энергией; например, с помощью периодически действующей вынуждающей силы (4.37).
. (4.37)
По второму закону Ньютона: ; или
, , (4.38)
где . Уравнение (4.38) – дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Его решение (без доказательства):
,
причём первое слагаемое при затухает и для установившихся колебаний
. (4.39)
Амплитуда вышужденных колебаний в (4.39) зависит от частоты:
(4.40)
Начальная фаза:
. (4.41)
На рис. 4.14 дан график функции (4.40); это – резонансные кривые.
Если , то статическое смещение . При .
Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте собственных колебаний системы (резонансной частоте) называется резонансом. Найдём резонансную частоту. Амплитуда максимальна, если подкоренное выражение в знаменателе (4.40) минимально, то есть
;
; (4.42)
;
откуда
. (4.43)
Значение – тоже решение уравнения (4.42), но это – минимум. Если же выполняется (4.43), амплитуда вынужденных колебаний максимальна и равна
. При условии малости затухания ( ):
;
. (4.44)
Упругие волны. Основные понятия
Колебания, возбуждаемые в какой-либо точке среды, могут в ней распространяться дальше, так как частицы среды взаимодействуют друг с другом.
Определение: волна – это процесс распространения колебаний, периодический во времени и пространстве.
Природа волн может быть различной (упругие, электрические, электромагнитные…), но закономерности волновых процессов, физически различных, математически описываются одинаково.
В продольной волне колебания происходят параллельно направлению распространения волны; в поперечной – перпендикулярно. При распространении продольной упругой волны происходит деформация сжатия-растяжения; поперечной – сдвига. Деформация сдвига вызывает возникновение упругих сил только в твёрдых телах поперечные волны возможны только в твёрдых телах; а продольные – и в твёрдых, и в жидких, и в газах.
Волновой фронт – совокупность точек, до которых дошла волна в данный момент времени. Волновой фронт может быть сферический, плоский. Луч – направление распространения волны. В изотропной среде луч перпендикулярен волновому фронту.
Принцип Гюйгенса (объясняет процесс распространения волн): любая точка волнового фронта является точечным источником вторичных сферических волн.
При распространении упругих волн в среде любая частица колеблется около своего положения равновесия. Переноса частиц среды не происходит. Волной переносится энергия. Все частицы колеблются с одинаковой частотой, определяемой частотой источника.
Колебания любой новой частицы, захваченной волновым процессом, отстают по фазе от колебаний предыдущей частицы. Скорость перемещения фиксированной фазы называется фазовой скоростью .
Пусть в точке с координатой (рис.4.16) величина колеблется по закону:
. (4.45)
Для любой другой точки с координатой x запаздывание по фазе будет определяться временем запаздывания (в течение этого времени волна дойдёт до точки x):
.
Заменив в (4.45) переменную на , получим уравнение плоской волны для точки x:
;
, (4.46)
где – волновой вектор (волновое число):
. (4.47)
Определение: длина волны – это расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду:
. (4.48)
Или: – это минимальное расстояние между двумя точками, которые колеблются в одинаковой фазе (рис.4.16).
Из (4.47) и (4.48):
. (4.49)
Поскольку фаза , то - характеризует быстроту изменения фазы во времени; - характеризует быстроту изменения фазы в пространстве.
Найдём скорость перемещения постоянной фазы (фазовую скорость); для этого положим
,
тогда
,
откуда
.
Дата добавления: 2015-04-10; просмотров: 1212;